Числовые и алгебраические выражения. Правила
| Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом. 4 + (6 – 3): 2 — числовое выражение 7 +: – 21 — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов
|
| Алгебраическим выражением (буквенным выражением) называется запись, составленная из букв и знаков арифметических действий, также в нее могут входить числа и скобки. Как и числовое выражение, алгебраическое должно быть составлено со смыслом. В буквенном выражении (520 – x: 5), буква x, вместо которой можно подставить различные числа, называется переменной. Таким образом, переменная — это буква, входящая в алгебраическое выражение, которая может принимать различные значения. Если вычислить значение алгебраического выражения, заменив переменные какими-либо числами, мы получим значение выражения при данном значении переменных.
|
Множество значений, которые может принимать переменная, не лишая выражения смысла называется областью определения этого выражения. Рассмотрим область определения для выражений: x – 11 — x может принимать любые значения 11: x — любые значения за исключением нуля (x ≠ 0) (x + 5): (x – 2) — любые значения за исключением двух (x ≠ 2)
| a – b
| — любые значения за исключением двух вариантов
| | a(a – b)
|
| (a ≠ 0)
| и
| (a ≠ b)
|
|
Обычно, при нахождении области определения, мы должны
исключить такие значения переменных, при которых придется делить
на нуль.
|
Математический язык. Тождества. Правила
| Мы уже не раз встречали записи, написанные на математическом языке. Например: мат. яз. рус. яз. 2(a + b) — удвоенная сумма двух чисел, a и b; Обратите внимание, что математический язык от русского, отличает краткость и ясность.
|
Приведем еще примеры математических записей и их аналогов на русском языке:
| (a – b)2
| — половина квадрата разности двух чисел
| a
| и
| b
| | 2
|
(a – b)2: 2 — также половина квадрата разности двух чисел a и b
Мы видим, что одно и то же выражение, на математическом языке
можно, как на русском, записать разными способами. Вот вам третий
вариант, этого же выражения.
| 1
| • (a – b)2
| — одна вторая квадрата разности двух чисел
| a
| и
| b
| | 2
| |
Если приведенные выше выражения, мы обозначим как A, B и С.
| A =
| (a – b)2
| B =
| (a – b)2: 2
| C =
| 1
| • (a – b)2
| | 2
| 2
|
Мы можем утверждать, что A = B = С, так как эти выражения равны
при любых значениях переменных.
при a = 15, b = 11; A = 8; B = 8; C = 8;
при a = 3, b = 1; A = 2; B = 2; C = 2;
при a = 9, b = 3; A = 18; B = 18; C = 18; и т. д.
Еще говорят, что эти выражения (A, B и C) тождественны илитождественно равны друг другу.
Тождество — это равенство двух отличных по записи, но имеющиходинаковое значение, выражений, при любых переменных из их области определения.
| (a – b)2
| =
| (a – b)2: 2
| — верное тождество
| | 2
|
Чтобы установить, что равенство не является тождеством, достаточноуказать такие значения переменных, из их области определения, при котором выражения не равны друг другу.
Например: A = x • 4 + 1; B = x + 4;
несмотря на то, что при x = 1; A = 1 • 4 + 1 = 4 + 1 = 5; B = 1 + 4 = 5;
при x = 2; A = 2 • 4 + 1 = 8 + 1 = 9; B = 2 + 4 = 6;
значит выражения A = x • 4 + 1; и B = x + 4; — не тождественны друг другу.
|
Тождественное преобразование — это преобразование выражения в другое, тождественно равное ему. Многие тождественные преобразования вы уже знаете. Например:
| мат. яз.
| рус. яз.
| | a • a = a2
| — квадрат числа
| | a • a • a = a • a2 = a3
| — куб числа
| | a + b = b + a
| — от перемены мест слагаемых сумма не изменится
| | (a + b) + c = a + (b + c)
| — сочетательное свойство сложения
| | аb = ba
| — от перемены мест множителей произведение не изменится
| | (ab)c = a(bc)
| — сочетательное свойство умножения
| | a(b + c) = ab + ac
| — распределительный закон умножения
| | 5a + 6a = 11a
| — приведение подобных слагаемых
| | a - (b + c) = a - b - c
| — раскрытие скобок (минус перед скобками меняет знаки слагаемых)
| | a
| =
| a • k
| (k ≠ 0)
| | b
| b • k
| | — основное свойство дроби
| | — основное свойство дроби
| | — умножение дроби на число
| | — деление дроби на число
| | — произведение двух дробей
| | — деление дроби на дробь
| |
| |
| Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями. x – 3 = 6 ⇒ x = 6 + 3 ⇒ x = 9. Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями (решениями). 3x = 6 ⇒ 3x: 3 = 6: 3 ⇒ x = 2.
|
| Уравнение вида ax = b называется линейным. Например: 1. 3x = 9 (ax = b). 2. 3x – 3 = 9; 3x = 9 + 3; 3x = 12 (ax = b). Принято: цифры в алгебраических выражениях заменять первыми буквами латинского алфавита — a, b, c, …, а переменные обозначать последними — x, y, z.
|
| a ≠ 0 b — любое значение ax = b имеет один корень x = b: a. a = 0 b ≠ 0 ax = b не имеет корней. a = 0 b = 0 ax = b имеет бесконечно много корней. 3x = 3 один корень x = 3: 3 x = 1. 0 • x = 5 корней нет. 0 • x = 0 бесконечно много корней x — любое число.
|
4. Математическая модель. Правила
| Математическая модель - это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. На нашем этапе изучения алгебры мы будем использовать математическое моделирование, как помощь в решении задач.
|
| Решим первую задачу В начале боя, в игре "Мир танков", у каждой стороны было по 14 боевых машин. В итоге, после захвата базы, потери противника оказались втроебольше потерь вашей команды, и на поле в общей сложности осталось 12 машин. Сколько танков осталось у вашей команды к концу боя? Составим математическую модель. В начале игры на поле было 14 • 2 = 28 танков. Примем за x количество танков потерянных вашей командой, значит, потери врагов составят 3x. 1. x — ваши потери; 2. 3x — потери вражеской команды; 3. 28 — кол-во всех танков до боя; 4. 12 — кол-во всех танков после боя. Составим уравнение, и решим его. 28 – x – 3x = 12 28 – 12 – x – 3x = 0 28 – 12 = 4x 16 = 4x x = 4 Найдем ответ на вопрос задачи. 14 – 4 = 10 (танков). Ответ: 10 танков осталось у нашей команды в конце боя.
|
| Решим вторую задачу Скорость легкового автомобиля в два раза больше скорости грузовика. Выехав на 1 час позже, за три часа пути он проехал расстояние на 100 км больше, чем грузовик. Какова скорость легкового автомобиля? Составим математическую модель. 1. x – скорость грузовика; 2. 2x – скорость легкового автомобиля; 3. Sl – расстояние пройденное легковым автомобилем; 4. Sg – расстояние пройденное грузовиком; 5. tl = 3ч – время в пути лег. автомобиля; 6. tg = 3 + 1 = 4ч – время в пути грузовика; 7. Sl = Sg + 100 – легк. автомобиль проехал на 100 км больше грузовика; 8. Sl = 2x • 3 = 6x (S = vt) – расстояние = скорость умноженная на время; 9. Sg = x • 4 = 4x. Составим уравнение, подставив в равенство 7 значения из равенств 8 и 9, и решим его. Sl = Sg + 100; 6x = 4x + 100; 2x = 100; x = 50. скорость грузовика – x = 50. Найдем ответ на вопрос задачи. скорость легкового автомобиля – 2x = 2 • 50 = 100. Ответ: скорость легкового автомобиля равна 100км/ч. При решении данной задачи, создание математической модели помогло нам составить уравнение и найти скорость грузовика. Затем, используя запись (2x – скорость легкового автомобиля) и зная x, мы нашли ответ на вопрос к задаче.
|
2015-10-22
1984
