Математический язык. Тождества. Правила

Числовые и алгебраические выражения. Правила

Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом. 4 + (6 – 3): 2 — числовое выражение 7 +: – 21 — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов

Алгебраическим выражением (буквенным выражением) называется запись, составленная из букв и знаков арифметических действий, также в нее могут входить числа и скобки. Как и числовое выражение, алгебраическое должно быть составлено со смыслом. В буквенном выражении (520 – x: 5), буква x, вместо которой можно подставить различные числа, называется переменной. Таким образом, переменная — это буква, входящая в алгебраическое выражение, которая может принимать различные значения. Если вычислить значение алгебраического выражения, заменив переменные какими-либо числами, мы получим значение выражения при данном значении переменных.

Множество значений, которые может принимать переменная, не лишая выражения смысла называется областью определения этого выражения. Рассмотрим область определения для выражений: x – 11 — x может принимать любые значения 11: x — любые значения за исключением нуля (x ≠ 0) (x + 5): (x – 2) — любые значения за исключением двух (x ≠ 2)

a – b	— любые значения за исключением двух вариантов
a(a – b)		(a ≠ 0)	и	(a ≠ b)

Обычно, при нахождении области определения, мы должны
исключить такие значения переменных, при которых придется делить
на нуль.

Математический язык. Тождества. Правила

Мы уже не раз встречали записи, написанные на математическом языке. Например: мат. яз. рус. яз. 2(a + b) — удвоенная сумма двух чисел, a и b; Обратите внимание, что математический язык от русского, отличает краткость и ясность.

Приведем еще примеры математических записей и их аналогов на русском языке:

(a – b)²	— половина квадрата разности двух чисел	a	и	b
2

(a – b)²: 2 — также половина квадрата разности двух чисел a и b

Мы видим, что одно и то же выражение, на математическом языке
можно, как на русском, записать разными способами. Вот вам третий
вариант, этого же выражения.

1	• (a – b)²	— одна вторая квадрата разности двух чисел	a	и	b
2

Если приведенные выше выражения, мы обозначим как A, B и С.

A =	(a – b)²	B =	(a – b)²: 2	C =	1	• (a – b)²
2	2

Мы можем утверждать, что A = B = С, так как эти выражения равны
при любых значениях переменных.

при a = 15, b = 11; A = 8; B = 8; C = 8;
при a = 3, b = 1; A = 2; B = 2; C = 2;
при a = 9, b = 3; A = 18; B = 18; C = 18; и т. д.

Еще говорят, что эти выражения (A, B и C) тождественны илитождественно равны друг другу.

Тождество — это равенство двух отличных по записи, но имеющиходинаковое значение, выражений, при любых переменных из их области определения.

(a – b)²	=	(a – b)²: 2	— верное тождество
2

Чтобы установить, что равенство не является тождеством, достаточноуказать такие значения переменных, из их области определения, при котором выражения не равны друг другу.

Например: A = x • 4 + 1; B = x + 4;

несмотря на то, что при x = 1; A = 1 • 4 + 1 = 4 + 1 = 5; B = 1 + 4 = 5;
при x = 2; A = 2 • 4 + 1 = 8 + 1 = 9; B = 2 + 4 = 6;

значит выражения A = x • 4 + 1; и B = x + 4; — не тождественны друг другу.

Тождественное преобразование — это преобразование выражения в другое, тождественно равное ему. Многие тождественные преобразования вы уже знаете. Например:

мат. яз.

рус. яз.

a • a = a²

— квадрат числа

a • a • a = a • a² = a³

— куб числа

a + b = b + a

— от перемены мест слагаемых сумма не изменится

(a + b) + c = a + (b + c)

— сочетательное свойство сложения

аb = ba

— от перемены мест множителей произведение не изменится

(ab)c = a(bc)

— сочетательное свойство умножения

a(b + c) = ab + ac

— распределительный закон умножения

5a + 6a = 11a

— приведение подобных слагаемых

a - (b + c) = a - b - c

— раскрытие скобок (минус перед скобками меняет знаки слагаемых)

a	=	a • k	(k ≠ 0)
b	b • k

— основное свойство дроби

a	=	a: k	(k ≠ 0)
b	b: k

— основное свойство дроби

a	• n =	an
b	b

— умножение дроби на число

a	: n =	a
b	bn

— деление дроби на число

a	•	a₁	=	aa₁
b	b₁	bb₁

— произведение двух дробей

a	:	a₁	=	ab₁
b	b₁	ba₁

— деление дроби на дробь

Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями. x – 3 = 6 ⇒ x = 6 + 3 ⇒ x = 9. Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями (решениями). 3x = 6 ⇒ 3x: 3 = 6: 3 ⇒ x = 2.

Уравнение вида ax = b называется линейным. Например: 1. 3x = 9 (ax = b). 2. 3x – 3 = 9; 3x = 9 + 3; 3x = 12 (ax = b). Принято: цифры в алгебраических выражениях заменять первыми буквами латинского алфавита — a, b, c, …, а переменные обозначать последними — x, y, z.

a ≠ 0 b — любое значение ax = b имеет один корень x = b: a. a = 0 b ≠ 0 ax = b не имеет корней. a = 0 b = 0 ax = b имеет бесконечно много корней. 3x = 3 один корень x = 3: 3 x = 1. 0 • x = 5 корней нет. 0 • x = 0 бесконечно много корней x — любое число.

4. Математическая модель. Правила

Математическая модель - это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка. На нашем этапе изучения алгебры мы будем использовать математическое моделирование, как помощь в решении задач.

Решим первую задачу В начале боя, в игре "Мир танков", у каждой стороны было по 14 боевых машин. В итоге, после захвата базы, потери противника оказались втроебольше потерь вашей команды, и на поле в общей сложности осталось 12 машин. Сколько танков осталось у вашей команды к концу боя? Составим математическую модель. В начале игры на поле было 14 • 2 = 28 танков. Примем за x количество танков потерянных вашей командой, значит, потери врагов составят 3x. 1. x — ваши потери; 2. 3x — потери вражеской команды; 3. 28 — кол-во всех танков до боя; 4. 12 — кол-во всех танков после боя. Составим уравнение, и решим его. 28 – x – 3x = 12 28 – 12 – x – 3x = 0 28 – 12 = 4x 16 = 4x x = 4 Найдем ответ на вопрос задачи. 14 – 4 = 10 (танков). Ответ: 10 танков осталось у нашей команды в конце боя.

Решим вторую задачу Скорость легкового автомобиля в два раза больше скорости грузовика. Выехав на 1 час позже, за три часа пути он проехал расстояние на 100 км больше, чем грузовик. Какова скорость легкового автомобиля? Составим математическую модель. 1. x – скорость грузовика; 2. 2x – скорость легкового автомобиля; 3. S_l – расстояние пройденное легковым автомобилем; 4. S_g – расстояние пройденное грузовиком; 5. t_l = 3ч – время в пути лег. автомобиля; 6. t_g = 3 + 1 = 4ч – время в пути грузовика; 7. S_l = S_g + 100 – легк. автомобиль проехал на 100 км больше грузовика; 8. S_l = 2x • 3 = 6x (S = vt) – расстояние = скорость умноженная на время; 9. S_g = x • 4 = 4x. Составим уравнение, подставив в равенство 7 значения из равенств 8 и 9, и решим его. S_l = S_g + 100; 6x = 4x + 100; 2x = 100; x = 50. скорость грузовика – x = 50. Найдем ответ на вопрос задачи. скорость легкового автомобиля – 2x = 2 • 50 = 100. Ответ: скорость легкового автомобиля равна 100км/ч. При решении данной задачи, создание математической модели помогло нам составить уравнение и найти скорость грузовика. Затем, используя запись (2x – скорость легкового автомобиля) и зная x, мы нашли ответ на вопрос к задаче.

1 2 3 4 5

Подборка статей по вашей теме: