Построение полной развертки усеченной части конуса

Полная развертка усеченной части конуса т. е. части, находящейся за секущей плоскостью состоит из развертки боковой поверхности, к которой присоединяют натуральные величины сечения и основания конуса (рис. 241).

Развертка боковой поверхности конуса в данном примере представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей прямого кругового конуса. Угол сектора определяется по формуле:

φ = (R/L) ∙ 360

где R – радиус окружности основания конуса,

L – длина образующей конуса.

Для нанесения на развертку линии сечения делят дугу сектора на 12 частей и проводят образующие 1-S; 2-S;... 12S; на фронтальных проекциях точек (I₄; II₄; III₄ ...) проводят прямые, параллельные основанию конуса, до пересечения с контурной образующей 12₄S₄, что равносильно повороту образующих в положение, при котором они будут параллельными плоскости П₄. Полученные точки (I₄’; II₄’; III₄’...) с контурной образующей переносят на соответствующие образующие развертки (SI = S₄I₄’; SII = S₄II₄’...).

На практике построение боковой поверхности развертки конуса заменяется разверткой правильной двенадцатигранной пирамиды, вписанной в заданный конус, тогда не вычисляя величину угла φ, можно определить длину дуги сектора путем откладывания на нее 12 раз хорды, стягивающей 1/12 часть окружности основания конуса

(1₁-2₁ = 1 -2 = 2-3 =...)

На рис. 241 показана полная развертка усеченного конуса с помощью 12 образующих, замененных ребрами двенадцатигранной правильной пирамиды.

Рис. 241

В заключение следует отметить, следующее:

1) Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то она пересекает боковую поверхность его по двум образующим (прямым линиям);

2) Если секущая плоскость не проходит через вершину конуса и пересекает все образующие одной полости поверхности, или, иначе, не параллельна ни одной из образующих конуса, то в пересечении получается эллипс или часть эллипса; в этом случаеугол между секущей плоскостью и осью конуса больше угла между этой осью и образующей конуса (на рис. 240 α будет больше β);

3) Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих конуса, то в сечении получается парабола (в этом случае на рис. 240 α будет равен β);

4) Если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается гипербола (в этом случае на рис. 240 α будет меньше β):

5) Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса вращения, то в сечении получается окружность.

Кривые линии, получаемые от пересечения поверхности конуса второго порядка различными плоскостями – эллипс, парабола, гипербола и окружность, называются коническими сечениями.

Варианты заданий (эпюр №2).