Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства

Определение 1. Пусть A =(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрица С =(с_ij) размера m×n над полем P, где с_ij= a_ij, j=, i=, и обозначается С=А.

Определение 2. Пусть A =(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, B =(b_ij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С =(с_ij) размера m×k над полем P, в которой элемент с_ij равен скалярному произведению i- й строки матрицы А на j -й столбец матрицы B, т.е. с_ij=A_iB^j =(a_i₁... a_in)⋅= a_i₁b₁_j+^…+a_inb_nj =, i=, j=, и обозначается С=A⋅B.

Лемма 1. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение(АВ) С,то существует и произведение А (ВС),причем (АВ) С=А (ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ) С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А (ВС).

Покажем, что (AB) C=A (BC). Пусть (АВ) С= (x_ij), А (ВС) = (y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A =(a_ip), B =(b_ps), С =(с_sj), АВ=R= (r_is), BC=T= (t_pj), s=, p=. Тогда

x_ij=R_iC^j= ===,

y_ij=A_iT^j ====.

Таким образом, x_ij=y_ij, i=, j=. Следовательно, (AB) C=A (BC). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда(А+В) С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В) С= (x_ij), АС+ВС= (y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A =(a_is), B =(b_is), С =(с_sj), i=, s=, j=. Тогда

x_ij= (A+B) _iС^j= === A_iC^j+B_iC^j = y_ij.

Следовательно, (А+В) С=АС+ВС. Лемма доказана.

Определение 3. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i -й строки на i -й столбец, i= . Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается ^tA.

Пример 1. Если A =, то ^tА =. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то ^tА - матрица размера n×m.

Лемма 3. Если произведение AB существует, то существует произведение ^tB ^tA, причем ^t (AB) =^tB ^tA.

Лемма 4. Если А – матрица размера m × n над полем Р, то АЕ_n=E_nA=A.

Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Через M_n(P) обозначается множество всех квадратных матриц n -го порядка над полем P.

Замечание. Из свойств операций над матрицами следует, что M_n(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно (см. примеры на практических занятиях).

Лемма 5. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB= ( A) B=A (B).

4. Перестановки n -й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n -го порядка. Определители второго и третьего порядков.

Определение 1. Пусть М= { 1,2,…,n }. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I= (i₁i₂…i_n), где i₁,i₂,..,i_n – попарно различные элементы из М.

Пример 1. Пусть М= { 1,2,3 }. Тогда перестановки на М имеют вид: I₁= (132), I₂= (231), I₃= (123) и т.д.

Определение 2. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.

Пример 2. В перестановке I₂= (231) две инверсии: 31 и 21.

Через s (I) будем обозначать число всех инверсий перестановки I.

Определение 3. Перестановка I называется чётной, если s(I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.

В примере 2 перестановка I – чётная.

Через S_n обозначается множество всех перестановок n -ой степени. Можно доказать, что количество всех перестановок из n элементов равно n!=1×2×3×…×n. Например, из 3 элементов можно составить перестановок. Это будут 123, 132, 231, 321, 312, 231.

Определение 4. Транспозицией называется перемена местами 2-х элементов перестановки, когда остальные элементы остаются на месте.

Теорема 1. Транспозиция меняет четность перестановки. Другими словами, четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.

Пусть А =- матрица n -го порядка над полем Р.

Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a₁₁a₂₂…a_nn. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку и j₁ -й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида: ….

Так как j₁,j₂,…,j_n – попарно различные элементы из множества М= { 1,2,…,n }, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I= (j₁j₂…j_n).

Рассмотрим выражение вида: (-1) ^s⁽^I⁾ (1), где I= (j₁j₂…j_n).

Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е. их будет n!.

Определение 5. Пусть А =- матрица n -го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поля Р, равный .

Используются следующие обозначения: =, =| A |, =| a_ij |, i =, j =,

= det A.

1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.

Так как I ₁= (12) и = 0, то получим Δ = = .

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = = .