double arrow

Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства


Определение 1. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрица С=(сij) размера m×n над полем P, где сij= aij , j=, i=, и обозначается С=А.

Определение 2. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P, B=(bij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С=(сij) размера m×k над полем P, в которой элемент сij равен скалярному произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы B, т.е. сij=AiBj=(ai1 ... ain)⋅=ai1b1j++ainbnj=, i=, j=, и обозначается С=A⋅B.

Лемма 1. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение(АВ)С,то существует и произведение А(ВС),причем (АВ)С=А(ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ)С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А(ВС).

Покажем, что (AB)C=A(BC). Пусть (АВ)С=(xij), А(ВС)=(yij), i=, j=. Покажем, что xij=yij, i=, j=. Пусть A=(aip), B=(bps), С=(сsj), АВ=R=(ris), BC=T=(tpj), s=, p=. Тогда




xij=RiCj====,

yij=AiTj====.

Таким образом, xij=yij , i=, j=. Следовательно, (AB)C=A(BC). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда(А+В)С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В)С=(xij), АС+ВС=(yij), i=, j=. Покажем, что xij=yij, i=, j=. Пусть A=(ais), B=(bis), С=(сsj), i=, s=, j=. Тогда

xij=(A+B)iСj====AiCj+BiCj=yij.

Следовательно, (А+В)С=АС+ВС. Лемма доказана.

Определение 3. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i-й строки на i-й столбец, i=. Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается tA.

Пример 1. Если A =, то tА =. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то tА - матрица размера n×m.

Лемма 3. Если произведение AB существует, то существует произведение tB tA, причем t(AB)= tB tA.

Лемма 4. Если А – матрица размера m×n над полем Р, то АЕn=EnA=A.

Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Через Mn(P) обозначается множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P.

Замечание. Из свойств операций над матрицами следует, что Mn(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно (см. примеры на практических занятиях).

Лемма 5. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB=(A)B=A(B).

4. Перестановки n-й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n-го порядка. Определители второго и третьего порядков.

Определение 1. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I=(i1i2…in), где i1,i2,..,in – попарно различные элементы из М.



Пример 1. Пусть М={1,2,3}. Тогда перестановки на М имеют вид: I1=(132), I2=(231), I3=(123) и т.д.

Определение 2. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.

Пример 2. В перестановке I2=(231) две инверсии: 31 и 21.

Через s(I) будем обозначать число всех инверсий перестановки I.

Определение 3. Перестановка I называется чётной, если s(I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.

В примере 2 перестановка I – чётная.

Через Sn обозначается множество всех перестановок n-ой степени. Можно доказать, что количество всех перестановок из n элементов равно n!=1×2×3×…×n. Например, из 3 элементов можно составить перестановок. Это будут 123, 132, 231, 321, 312, 231.

Определение 4.Транспозицией называется перемена местами 2-х элементов перестановки, когда остальные элементы остаются на месте.

Теорема 1. Транспозиция меняет четность перестановки. Другими словами, четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.



Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р.

Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a11a22…ann. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку и j1-й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида: .

Так как j1,j2,…,jn – попарно различные элементы из множества М={1,2,…,n}, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I=(j1j2…jn).

Рассмотрим выражение вида: (-1)s (I) (1), где I=(j1j2…jn).

Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е. их будет n!.

Определение 5. Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поля Р, равный .

Используются следующие обозначения: =, =|A|, =|aij|, i=, j=,

=det A.

1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.

Так как I1 = (12) и = 0, то получим Δ = = .

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = = .

I1 = (123) = 0 ; I2 = (213) = 1 ;

I3 = (312) = 2 ; I4 = (321) = 3 ;

I5 = (132) = 1 ;

I6 = (231) = 2 .

Следовательно,

Δ== .

Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +.







Сейчас читают про: