Ранг системы строк и столбцов матрицы

Определение

Рангом системы строк называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

В каждой матрице можно связать два ранга: строчный ранг (ранг системы строк) и столбцовый ранг (ранг системы столбцов).

Теорема

Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Ранг матрицы

Определение

Рангом матрицы называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования над строками (столбцами) матрицы не меняют её ранга.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Пример

Задание. Найти ранг матрицы

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:

Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки:

Ответ.