Радикальный признак Коши

ЛЕКЦИЯ № 8

1.23.Достаточные признаки сходимости Признак Даламбера

Признак Даламбера не требует для установления сходимости или расходимости числовых рядов с положительными членами привлечения других, известных рядов для сравнения. Для анализа сходимости числового ряда нужно производить некоторые операции над самим рядом.

Теорема 1 .(Признак Даламбера). Если для числового ряда с положительными членами существует конечный или бесконечный придел , то ряд сходится при и расходится при . В случае признак не способен различить сходящийся или расходящийся числовой ряд.

Доказательство. По определению предела для любого найдется натуральное число такое, что при выполняется неравенство или .

Рассмотрим случай . Можно подобрать так, что число . Обозначим , . Тогда из правой части неравенства получаем , или при > . Считая, что , и придавая номеру различные значения, получим серию неравенств:

т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда

который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем . Но тогда на основании признака сравнения сходится ряд , являющийся остатком исходного числового ряда. Следовательно, на основании первой теоремы о свойствах числовых рядов сходится и исходный ряд.

Рассмотрим случай . В этом случае , поэтому, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство , или , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера . Поэтому . Поскольку не выполняется необходимое условие сходимости, то числовой ряд обязательно расходится.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда как функция целочисленного аргумента содержит выражение вида или , т.е. убывает быстрее степенной функции.

Пример 16. Исследовать на сходимости ряд .

Решение: Находим

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример 17. Исследовать на сходимость ряда .

Решение: Вычисляем

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.

Пример 18. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем , значит, Так как , то ряд расходится.

Пример 19. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем , поэтому Следовательно, ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Если в формуле общего члена числового ряда с положительными членами содержится -ная степень какого-либо выражения, то удобно пользоваться радикальным признаком Коши.

Теорема (Радикальный признак Коши). Если для числового ряда с положительными членами существует конечный или бесконечный придел , то ряд сходится при и расходится при . В случае вопрос о сходимости ряда остается открытым.