2015-10-22
517
Тема 1. Матрицы и определители.
Определение и виды матриц. Векторы. Операции над матрицами. Определитель квадратной матрицы. Минор. Алгебраическое дополнение. Вычисление и свойства определителей. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Практическое занятие 1.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Даны матрицы A и B.
а) 
Указать, какие из нижеприведенных операций выполнимы, и выполнить их.
а) A + B; б) AT + B; в) A + B T; г) AT + B T.
д) AB; е) ATB; ж) AB T; з) BAT.
3. Решить задачи [Л1[1], с.60, 64]:
1.17, 1.20, 1.23; 1.40, 1.43
4. Найти определитель матрицы
Практическое занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с.65, 68]: 1.51; 1.62
3. Найти матрицу, обратную матрице С, если она существует (см. п. 4 занятия 1).
4. Найти ранг матриц
5. Решить задачи [Л1, с.70-71]: 1.71; 1.73; 1.79
Практическое занятие 3.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Найти значение многочлена f(x) от матрицы А [Л1, с.61]: 1.35
3. Решить задачи с экономическим содержанием [Л1, с.72-77]:
|
|
|
1.88; 1.89; 1.90;1.91
Тема 2.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Запись и решение СЛАУ в матричном виде. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы. Решение СЛАУ и вычисление обратной матрицы методом Гаусса. Системы линейных однородных уравнений; свойства, фундаментальное решение. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения. Модель Леонтьева - модель многоотраслевой экономики.
Практическое занятие 1.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 108]: 2.14, 2.19, 2.22
3. Решить системы уравнений методом Гаусса
а) 
; б) 
.
4. Решить задачу 2.46 [Л1, с. 115]:
Практическое занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 108, 115]: 2.26, 2.47;
3. Найти базисные и общее решения системы уравнений из задач [Л1, с. 115-116]. 2.52, 2.54.
Практическое занятие 3.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить системы уравнений, найти все базисные решения [Л1, с.116]: 2.56; 2.58
3. Найти фундаментальные системы решений систем линейных уравнений [Л1, с.116-117]: 2.60; 2.62; 2.64
4. Решить задачи[Л1, с.117-119]: 2.67; 2.69.
Тема 3. Линейные пространства и преобразования.
Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты. Размерность. Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Евклидовы пространства. Линейные преобразования (операторы). Способы нахождения матрицы линейного преобразования.Ранг и дефект линейного преобразования.
Практическое занятие 1.
|
|
|
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Доказать, что множество двухмерных геометрических векторов с заданными на нем операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство.
3. Решить задачи [Л1, с. 165-166]: 3.50, 3.53, 3.56, 3.58, 3.61
4. Найти косинус угла между векторами x и y, принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом.
а) 
, 
б) 
, 
.
5. Решить задачи [Л1, с. 158-159]:
3.20, 3.26
Практическое занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1,с.158,с.159,с.166, с. 168-169]:
3.20, 3.26, 3.65, 3.71, 3.73, 3.78
|
в вектор 
вектор
Практическое занятие 3.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного векторного пространства в вектор y по следующему алгоритму.
а) симметричное отображение относительно прямой x1 = x2;
б) поворот на 45° по часовой стрелке;
в) симметричное отображение относительно прямой x1 = 0, а затем симметричное отображение относительно начала координат.
3. Решить задачи [Л1, с. 169]: 3.80; 3.82.
Тема 4 Комплексные числа. Собственные значения и векторы.
Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами и их свойства. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов. Линейная модель обмена.
Практическое занятие 1.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 805-806]:
15.7, 15.8в, 15.12, 15.22
3. Даны комплексные числа 
. Представить в тригонометрической форме и экспоненциальной форме и изобразить на комплексной плоскости эти числа, а также 
Практическое занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 172-173]:
3.87, 3.91. 3.96. 3.102
Тема 5. Квадратичные формы.
Понятие квадратичной формы. Матричная запись. Канонический вид квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Практическое занятие 1.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 176, 177]: 3.111, 3.117, 3.120, 3.124
Практическое занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 177]: 3.131, 3.133, 3.135
Тема 6. Элементы аналитической геометрии.
Уравнение линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Углы между плоскостями и прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Поверхности второго порядка, их геометрические свойства. Элементы аналитической геометрии в n-мерном пространстве. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.
Практическое занятие 1.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 217, 218]:
4.21, 4.35, 4.37, 4.38, 4.47;
Практическое занятие 2.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 217, 225–227, 235]:
4.69, 4.79, 4.93, 4.119
Практическое занятие 3.
1. Повторение определений основных понятий темы.
2. Решить задачи [Л1, с. 229–236]:
4.108, 4.114, 4.116, 4.119
