Точечные оценки параметров распределения

Точечная оценка некоторого параметра распределения определяется по выборке, записывается одним числом и служит оценкой параметра распределения генеральной совокупности. Такая оценка называется выборочной. Приведем основные точечные оценки параметров распределения. Математическое ожидание случайной величины оценивается по выборочной средней ; дисперсия – по выборочной дисперсии D_в и исправленной выборочной дисперсии S²; среднее квадратическое отклонение (СКО) оценивается по выборочному среднему квадратическому отклонению σ _в и исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению S; Для трактовки полученных результатов расчета параметров выборки следует знать смысл каждой оценки. Приведем краткую их характеристику:

• – характеризует среднее значение признака по выборке;

• D_в и S² – характеризуют средний квадрат отклонения признака от среднего значения по выборке, только вторая характеристика является еще и несмещенной;

• σ _в и S – характеризуют среднее отклонение признака от среднего значения по выборке.

Метод “условного нуля”

Если выборка представлена статистическим рядом с равноотстоящими вариантами или интервальным статистическим рядом с равными интервалами разбиения, то целесообразно для упрощения расчетов использовать метод “условного нуля”. В этом случае выбирают в качестве “условного нуля” одну из вариант С, стоящую в центре ряда и имеющую наибольшую частоту. Затем переходят к условным вариантам по формуле u_i = (x_i –C)/h и заполняют специальную таблицу.

Определим числовые характеристики признака Х₁. Выберем условный нуль С=3,955, определим условные варианты и занесем в таблицу:

М1=-1,1325

М2=8,36015

=3,1124

Dв=3,918

σ в=1,979

S2=3,152

S=1,775

Для проверки правильности расчетов воспользуемся тождестовом:

Σ n_i(u_i+1)² = Σ n_iu_i² + 2 Σ n_iu_i + n= 668,812+2(-90,6)+80=567,612

Определим числовые характеристики признака Х₂. Выберем условный нуль С=0,1525, определим условные варианты и занесем в таблицу:

i	Интервалы	xi	ni	ui	ni×ui	ni×ui2	ni(ui+1)2
	0,014-0,054	0,034		-3	-180
	0,054-0,094	0,074		-2	-38
	0,094-0,131	0,1125		-1
	0,131-0,174	С=0,1525
	0,174-0,214	0,194		1,0375
	0,214-0,254	0,234		2,0375
	0,254-0,294	0,274		3,0375
	0,294-0,334	0,314		4,0375	4,0375	16,315	25,377
	Суммы:				-213,9625	632,315	284,377

М1=-2,674

М2=7,9

=0,048

Dв=0,02932

σ в=0,1712

S2=0,486

S=0,2205

Для проверки правильности расчетов воспользуемся тождестовом:

Σ n_i(u_i+1)² = Σ n_iu_i² + 2 Σ n_iu_i + n= 632,315+2(-213,9625)+80=284,377

Определим числовые характеристики признака У. Выберем условный нуль С=181,5, определим условные варианты и занесем в таблицу:

i	Интервалы	Yi	ni	ui	ni×ui	ni×ui2	ni(ui+1)2
	60-87	73,5		-4	-72
	87-114	100,5		-3	-48
	114-141	127,5		-2	-38
	141-168	154,5		-1	-10
	168-195	C=181,5
	195-222	208,5
	222-249	235,5
	249-276	262,5
	Суммы:				-153

М1=-1,9125

М2=6,8875

=130,5663

Dв=2290,81

σ в=47,862

S2=132,219

S=11,498

Для проверки правильности расчетов воспользуемся тождестовом:

Σ n_i(u_i+1)² = Σ n_iu_i² + 2 Σ n_iu_i + n= 551+2(-153)+80=325