Свойства множества действительных чисел

7 8 9 10 11 12 13

Структура множества действительных чисел.

1) N – мн-во натуральных чисел {1, 2, …, n} (сложение, умножение)

2) Z – мн-во целых чисел {0, ±1, ±2, …, ±n, …} (сложение, умножение, вычитание)

3) Q - мн-во рациональных чисел {m/n, mЄZ, nЄN}

Иррациональные числа представимы в виде бесконечной непериодической дроби.

4) R - мн-во действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа вместе.

Свойства множества действительных чисел.

1. R – упорядоченное множество.для любых двух различных вещественных чисел a и b выполняется либо a<b, либо a>b.

2. R – плотное мн-во. Между любыми двумя различными числами a и b существует бесконечное мн-во действительных чисел.

3. R – непрерывное мн-во. Св-во непрерывности позволяет установить соответствие между эл-ми мн-ва R и точками оси, т.е. каждой точке действительной оси соответствует вполне определенное действительное число и наоборот.

Опред. Мн-во действительных чисел R будем называть расширенной системой действит. чисел, если к нему присоединены два несобственных числа +∞ и - ∞, удовлетворяющие след. условию: если х – конечное, то

1) х +∞=+∞

2) х -∞=-∞

3) х/± ∞=0

4) ± ∞/x= ±∞, если x>0

∓∞, если x<0

5) x*(±∞)= ±∞, если x>0

∓∞, если x<0

2. Числовые подмножества.

Опред. Пусть А и В-два мн-ва. Если каждый эл-нт мн-ва А является эл-том мн-ва В, то мн-во А называется подмн-вом мн-ва В.

Числовые промежутки.(E c R).

1) Е = [a, b] = {xЄR, a≤x≤b} – отрезок(закрытый промежуток)

2) Е = (a, b) = {xЄR, a<x,b} – интервал(открытый промежуток)

3) E = [a, b) = {xЄR, a≤x<b} – полуинтервал

4) E = (a, b] = {xЄR, a<x≤b} – полуинтервал

5) E = (-∞, a] = {xЄR, -∞<x≤a} – бесконечный полуинтервал

6) E = (-∞, a) = {xЄR, -∞<x<a} – бесконечный полуинтервал

7) E = [b, +∞) = {xЄR, b≤x<+∞} – бесконечный полуинтервал

8) E = (b, +∞) = { xЄR, b<x<+∞} – бесконечный полуинтервал

Интервал вида (x₀-ε, x₀+ε), где ε-любое положительное число, назыв. эпсилон-окрестностью точки x₀, а x₀– центр этой ε-окр-ти.

Если xЄ(x₀-ε, x₀+ε), то x₀-ε<x<x₀+ε. => -ε<x-x_0<+ε => |x-x₀|<ε – x принадлежит ε-окр-ти в точке x₀.

3. Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.

Пусть EcR.

Опред.1: если для рассматриваемого мн-ва Е существует такое действит. число М, что все элементы данного мн-ва удовлетв. условию х≤М, то говорят, что мн-во Е ограниченного сверху, а число М назыв. верхней границей мн-ва Е

(ƎМϵR)( xϵE):x≤M

Опред.2: мн-во Е назыв. ограниченным снизу, если существует такое действит. число m, что все эл-ты данного мн-ва удовлетв. условию x≥m

(ƎmϵR)( xϵE): x≥m

Опред.3: мн-во Е назыв. ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу одновременно

(ƎМϵR, ƎmϵR)( xϵE):m≤x≤M

Если мн-во огранич. сверху, то оно имеет бесконечное мн-во верхних границ. Среди них выдел. наим. верхнюю границу, т.е. границу, которая ближе всех к мн-ву.

Опред.4: наим. из всех верхних границ М назыв. точной верхней гранью мн-ва Е, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) ( xϵE):x≤M

2) ( ε>0)(Ǝx_εϵE):M-ε<x_ε_≤M

M=sup – точная верхняя граница

Если мн-во ограничено снизу, оно имеет бесконечно много нижних границ. Среди мн-ва нижних выбирают ту, которая ближе подходит к мн-ву. Ее назыв. точной нижней границей.

Опред.5: наиб. из всех нижних границ m назыв. точной нижней гранью. Число m явл. точной нижней границей, если для него выполн. след. правила:

1) ( xϵE): x≥m

2) ( ε>0)(Ǝx_εϵE):x<m+ε

m=inf – точная нижняя граница

Теор: Всякое огранич. снизу мн-во имеет точную нижнюю границу, всякое огранич. сверху мн-во имеет точную верхнюю границу. Если мн-во Е не ограничено сверху, то за его точную верхнюю границу берут +∞. Если мн-во Е не ограничено снизу, то за его точную нижнюю границу берут -∞.

4. Опред.: пусть даны два непустых мн-ва EcR и YcR. Закон f, по которому каждому эл-ту xϵE ставится в соответствие один и только один эл-нт yϵY назыв. функцией или отображением мн-ва Е на мн-во Y и обозначается y=f(x) или f:E→Y.

Мн-во Е назыв. областью определения ф-ии, а мн-во Y – мн-вом значений. При этом х назыв. аргументом или независимой переменной, а y – функцией или завис. переменной.

Если обл. опред. не указана. То она совпадает со мн-вом допустимых значений.

Основные свойства функций.

Опред.1: пусть ф-я y=f(x) определена на симметричном мн-ве [-a, a] (или (-а, а)). f(x) четная на мн-ве Е, если ( xϵE):f(-x)=f(x)

f(x) нечетная на мн-ве Е, если ( xϵE):f(-x)=-f(x)

Опред.2: пусть ф-я y=f(x) определена на мн-ве Е. если ( x₁, x₂ϵE):x₁<x₂ выполн. Нерав-ва:

1) f(x₁)<f(x₂) – f(x)-монотонно-возрастающая на мн-ве Е

2) f(x₁)≤f(x₂) – f(x)-неубывающая на мн-ве Е

3) f(x₁)>f(x₂) – f(x)-монотонно-убывающая на мн-ве Е

4) f(x₁)≥f(x₂) – f(x)-невозрастающая на мн-ве Е

Опред.3: ф-я y=f(x) назыв. ограниченной на мн-ве Е, если мн-во ее значений (Y) ограниченно на мн-ве Е.

(ƎmϵR)(ƎMϵR)( xϵE):m≤f(x)≤M/ в противном случае ф-я назыв. неограниченной.

Опред.4: число М назыв точной верхней гранью ф-и на мн-ве Е, если вып. след. усл-я:

1) (ƎMϵR)( xϵE):f(x)≤M

2) ( ε>0)(Ǝx_εϵE):f(x_ε)>M-ε

и обозначают M=supf(x), xϵЕ

Опред.5: число m назыв. точной нижней границей ф-и f(x) на мн-ве Е, если вып.след.усл-я:

1) (ƎmϵR)( xϵE):f(x)≥m

2) ( ε>0)(Ǝx_εϵE):f(x_ε)<m+ε

и обозначают m=inff(x), xϵE.

Ф-я y=f(x) назыв. периодической на мн-ве Е, если (ƎT>0, TϵR) ( xϵE):f(x+T)=f(x), где Т-период ф-и.

Если Т-период, то mT, m=±1. ±2, … - периоды f(x)/ за основной период ф-и принимают наименьшее положит число.

y=sinX. ±2П,±4П, ±6П – периоды. Т=2П – основной период

5. Обратные функции.

Опред.: пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и Y-ее мн-во значений. Если каждому эл-ту yϵY по закону g ставится в соответствие единственное число xϵE, то говорят, что на мн-ве Е задана обратная ф-я и обозначают x=g(y)=f^-1(x). Ф-ю y=f(x) назыв. прямой ф-ей.

y=f(x), E – обл. опред., Y – мн-во знач.

x=g(y), Y – обл. опред., E – мн-во знач.

Понятие сложной функции.

Опред.: пусть ф-я y=f(x) определена при uϵD, а ф-я u=φ(x) определена на мн-ве Е(xϵE), причем ( xϵE): u=φ(x)ϵD. Тогда говорят, что на мн-ве Е задана ф-я y=(φ(x)), которая назыв. сложной ф-ей или суперпозицией ф-й, при этом обл. опред. сложной ф-и будем назыв. мн-во значений х, при которых определяется ф-и f и ф и мн-во знач. Ф-й ф(х) явл. обл. опред. ф-и f.

6. Опред.1:Пусть EϵR – произвольное непустое мн-во. Отображение f мн-ва натер. чисел на мн-во Е назыв. числовой последовательностью и обозначается x_n=f(n), т.е. числовая послед-ть – ф-я натурального элемента.

Для числовой последовательности важно, что это бесконечное мн-во, т.е. числ. послед-ть содержит бесконечное число эл-тов.

Числ. послед-ть – это упорядоченное мн-во, т.к. эл-ты данного мн-ва следуют в порядке возрастания n. При этом эл-нт x_n стоит за x_n_-1 и перед x_n₊₁.

Опред.2: Число aϵR назыв. пределом числ. послед-ти x_n, если для каждого положительного числа ε, сколь бы мало оно не было, существует такой номер N(ε)ϵN, что все эл-ты послед-ти x_n, номера которого n> N(ε) удовлетворяет неравенству |x_n-a|<ε.

( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN)(( nϵN, n> N(ε)):|x_n-a|<ε

И тот факт, что a явл. членом числ. послед-ти _n=а или x_n→a. Числовая послед-ть в этом случае назыв. сходящейся. Если указанный предел не существует или равен ∞, то числ. послед-ть назыв расходящейся.

Если ε уменьшается, то номер N(ε)-увеличивается. И в любой сколь угодно малой окр-ти лежит бесконечное число эл-тов.

Точка а – предельная точка(точка сгущения).

Если номер N(ε) – отриц., это означает, что все эл-ты послед-ти лежат в выбранной ε-окр-ти точки а.

7. Если числовая послед-ть сходится, то она сходится к единственному пределу.

Док-во: методом от противного. Предпол., что числ. послед-ть сходится к двум различным пределам. Пусть Ǝ _n=а ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-a|<ε (1)

и пусть _n=а` ó ( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)(( nϵN, n> N₂(ε)):|x_n-a`|<ε (2), причем a≠a`. Т.к. в определении предела ε любое, то выберем его таким, чтобы ε-окр-ти чисел a и a` не пересекались.

Выберем N(ε) равное максимальному { N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при любых n> N(ε)определения (1) и (2) выполняются одновременно.

Геометрический смысл определения: начиная с некоторого номера все элементы лежат в ε-окр-ти этой точки. След-но при n>N(ε) все элементы послед-ти лежат в ε-окр-ти точки а и ε-окр-ти точки а`, что является невозможным => a=a`, т.е. послед-ть сходится к единственному пределу.

Опред.: числ. послед-ть назыв. ограниченной, если мн-во значений ее ограниченно, т.е. (ƎmϵR)(ƎMϵR)( nϵN):m≤x≤M/ или определение огранич-ой послед-ти можно записать так: (ƎM>0)( nϵN):|x_n|≤M.

8. Если числ. послед-ть сходится, то она ограничена.

Док-во: Пусть x_n сходится, т.е. _n=а ó ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n-a|<ε. Выберем число M~=max{ε, |x₁-a|, |x₂-a|,…, |x_n-a|}ю тогда при nϵN будет выполнятся неравенство |x_n-a|≤M~ => -M~≤ x_n-a≤M~ или a-M~≤x_n≤a+M~ (a-M~=m, a+M~=M)

(Ǝm=a-M~)(ƎM=a+M~)( nϵN):m≤x_n≤M. это означает, что числ. послед-ть ограничена.

9. Если x_n и y_n-сходящиеся числ. послед-ти, т.е. _n=x, _n=y, то:

1) _n± y_n) = _n± _n= x ± y

Док-во: докажем, что _n + y_n) = x + y

Т.к. x_n→x ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε/2 (1)

Т.к. y_n→y ó ( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)(( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε/2 (2).

Выберем N(ε)=max{ N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при n>N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Оценим разность при n> N(ε): |(x_n+y_n)-(x+y)| = |(x_n-x)+(y_n-y)|≤|x_n-x|+|y_n-y|< ε/2 + ε/2 = ε

Получено следующее определение: ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)): |(x_n+y_n)-(x+y)|< ε

Это означает, что _n + y_n) = x + y. Ч.т.д.

Док-во: докажем, что _n - y_n) = x - y

Т.к. x_n→x ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε/2 (1)

Т.к. y_n→y ó ( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)(( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε/2 (2).

Выберем N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при n>N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Оценим разность при n> N(ε): |(x_n-y_n)-(x-y)| = |(x_n-x)-(y_n-y)|≤|x_n-x|-|y_n-y|< ε/2 + ε/2 = ε

Получено следующее определение: ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)): |(x_n-y_n)-(x-y)|< ε

Это означает, что _n - y_n) = x - y. Ч.т.д.

2) _n_*y_n) = _n * _n = xy

Т.к. x_n→x ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε (1)

Т.к. y_n→y ó ( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)(( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε (2).

Выберем N(ε)=max{ N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при n>N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Оценим разность |(x_n*y_n)-(xy)| при n> N(ε)

|x_n*y_n-xy| = |(x_n-x)*(y_n-y)+xy_n+x_ny-2xy| = |(x_n-x)(y_n-y)+x(y_n-y)+y(x_n-x)|≤ |(x_n-x)*(y_n-y)|+| x(y_n-y)|+|y(x_n-x)| = |x_n-x|*|y_n-y|+|x|*|x_n-x|+|y|*|y_n-y|<ε²+|x|*ε+|y|*ε = ε₁

Получаем следующее определение: ( ε₁>0)(ƎN(ε₁)ϵN(ε))( nϵN, n> N(ε₁)): |x_n*y_n-xy|< ε₁

Это означает, что _n_*y_n) = xy ч.т.д.

3) _n/y_n) = _n/ _n= x/y, y_n≠0, y≠0

Сначала докажем, что _n = 1/y

Т.к. y_n→y ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|y_n-y|<ε (1)

Т.к. начиная с номера N₁(ε) все эл-ты послед-ти y_n лежат в ε-окр-ти точки y, то они все будут удовлетворять следующему неравенству: |y₁|>|y|/2 при n> N₂(ε)

Выберем за N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)} и при n> N(ε) оценим разность: |1/y – 1/y_n| = |(y-y_n)/y*y_n| = |y-y_n|/|y_n|*|y| < |y_n-y|/(|y|/2)*|y| = 2|y_n-y|/|y|*|y| < 2 ε/|y|² = ε₁ => => _n = 1/y

Рассмотрим _n_/y_n) = _n * 1/y_n) = x * 1/y = x/y Ч.т.д.

10. пусть даны числ. послед-ти x_n, y_n, z_n

1) для сходящихся числ. послед-тей x_n и y_n из соотношения _n=x, _n=y и x_n≤y_n ( nϵN) следует, что x≤y

Док-во: Т.к. x_n→x ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε/2 (1)

Т.к. y_n→y ó ( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)(( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε/2 (2)

N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)} и при n> N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Предположим методом от противного, что x>y и выберем ε = x-y.

(1): x- ε/2<x_n< x+ε/2 => x_n≥ x- ε/2 = (ε+y)- ε/2 = y+ ε/2>y_n

(2): y- ε/2<y_n<y+ ε/2

Это противоречит условию x_n≤y_n nϵN. След-но предположение что x>y неверно.

2) Из соотношений _n = _n = a и x_n≤z_n≤y_n следует, что _n = a

Док-во: Т.к. x_n→a ó ( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-a|<ε (1)

y_n→a ó ( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-a|<ε (2)

N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)} и при n> N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

(1): a- ε<x_n< a+ε => a- ε<x_n≤z_n≤y_n< a+ ε n>N(ε)

(2): a- ε<y_n<a+ ε

Получаем a- ε< z_n< a+ ε n>N(ε) => ( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|z_n-a|<ε => => _n=a

11. Опред.1: последовательность x_n называется бесконечно малой, если _n=0 ó ó ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n|<ε.

Смысл б.м. послед-ти: каково бы ни было сколь угодно малое положительное число ε, всегда найдется такой номер N(ε), начиная с которого все эл-ты послед-ти лежат вблизи нуля (в малой ε-окр-ти).

Опред.2: числ. послед-ть x_n назыв. Бесконечно большой, если _n=∞ ó ó ( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n|>ε.

Смысл б.б. послед-ти: каково бы ни было сколь угодно большое положительное число ε, всегда найдется номер N(ε), начиная с которого все эл-ты послед-ти по модулю становятся больше заданного большого числа ε.

Если x_n>0, x_n – б.б. ó ( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):x_n>ε.

Если x_n<0, x_n - б.б. ó ( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):x_n<-ε.

Связь между б.б. и б.м. послед-ми.

Если x_n – б.м., то 1/x_n – б.б. и наоборот.

Док-во: пусть x_n – б.м. ó ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n|<ε.

|x_n_|< ε умножим на 1/(|x_n|*ε) => 1/ε<1/|x_n| => 1/|x_n|>1/ε nϵN.

( 1/ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):1/|x_n|>1/ε => 1/x_n – б.б.

Свойства б.м. послед-тей.

1) Сумма или разность двух б.м. послед-тей есть величина б.м.

Пусть x_n, y_n – б.м., т.е. _n=0, _n=0

_n± y_n) = _n± _n= 0 => (x ± y) – б.м.

2) Произведение двух б.м. послед-тей есть б.м. послед-ть

Док-во аналогично. Св-ва 1 и 2 обобщаются на конечное число б.м. послед-тей.

3) Произведение б.м. послед-ти на ограниченную есть величина б.м.

Док-во: пусть z_n=x_n*y_n, где x_n – ограниченная послед-ть, т.е. (ƎM>0)( nϵN):|x_n|≤M

Пусть y_n – б.м. => ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|y_n|< ε/M.

Оценим |x_n*y_n| при n>N(ε): |x_n*y_n|=|x_n|*|y_n|≤M*|y_n|( nϵN)<M*(ε/M) = ε ( nϵN) => => z_n=x_n*y_n – б.м.

12. Монотонные последовательности.

Опред.: послед-ть x_n назыв.: 1) монот.-возраст, ( n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n₁<x_n₂

2) неубывающей, ( n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n₁≤x_n₂

3) монот.-убыв, ( n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n₁>x_n₂

4) невозрастающей, ( n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n₁≥x_n₂

Теорема о пределе монот.-возраст. послед-ти.

Всякая монот.-возраст. послед-ть, ограниченная сверху, имеет предел, равный точной верхней грани послед-ти.

Всякая монот.-возраст. послед-ть, не ограниченная сверху, имеет предел, равный +∞.

Док-во: пусть x_n – монот.-возраст. и ограниченна сверху. Всякое огранич. сверху мн-во имеет точную верхнюю грань, т.е. существует M=sup x_n ó (ƎMϵR)( nϵN):x_n≤M (1)

( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN):x_N_(ε)>M-ε (2).

Т.к. x_n – монот.-возраст., то n> N(ε):x_n> x_N_(ε)>M- ε => M-ε<x_n≤M<M+ ε => M-ε<x_n<M+ε для ( n> N(ε) => |x_n-M|< ε для ( n> N(ε) => ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): |x_n-M|< ε ó ó _n=M ч.т.д.

Пусть x_n – монот.-возраст. и не ограниченна сверху: (ƎMϵR)( nϵN):x_n<M

( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN):x_N_(ε)>ε

Т.к. x_n – монот.-возраст, то n> N(ε):x_n> x_N_(ε)>ε

Получено след. опред: ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): x_n>ε => _n=+∞. Ч.т.д.

Теорема о пределе монот.-убыв. послед-ти.

Если послед-ть монот.-убыв. и ограничена снизу, то она имеет предел, равный точной нижней грани послед-ти.

Предел монот.-убыв. послед-ти, неограниченной снизу, равен -∞.

Док-во: пусть x_n-монот.-убыв. и ограничена снизу. Всякое огранич. снизу мн-во имеет точную нижнюю грань, т.е. существует m=inf x_n ó (ƎmϵR)( nϵN):x_n≥m (1)

( ε>0)(Ǝ N(ε)ϵN):x_N_(ε)<m+ε (2).

Т.к. x_n – монот.-убыв., то n> N(ε):x_n< x_N_(ε)<m+ε => m-ε<m≤ x_n<m+ε => m-ε<x_n<m+ε для n> N(ε) => |x_n-m|<ε => для n> N(ε) => ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): |x_n-m|<ε ó ó _n=m ч.т.д.

Пусть x_n – монот.-убыв. и не ограничена снизу: (ƎmϵR)( nϵN):x_n≥m

( ε>0)(ƎN(ε)ϵN):x_N_(ε)<ε

Т.к. x_n – монот.-убыв. послед-ть, то n> N(ε):x_n<x_N_(ε)<ε

Получено след. опред.:: ( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): x_n<ε => _n=-∞. Ч.т.д.

13. Второй замечательный предел.

= 1+n * (1/n) + (n(n-1))/2! * (1/n²)+(n(n-1)(n-2))/3! * (1/n³) +…+ (n(n-1)(n-2)…*2*1)/n! * (1/nⁿ)

= 2+1/2*(1-1/n) + 1/3!*(1-1/n)(1-2/n) +…+ 1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)

= (1-1/(n+1))ⁿ⁺¹=2 + 1/2*(1-1/(n+1)) + 1/3!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1)) +…+ 1/n!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(n-1)/(n+1)) + 1/(n+1)!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-n/(n+1))

Сравним и : 1/2*(1-1/n) < 1/2*(1-1/(n+1))

1/3!*(1-1/n)(1-2/n) < 1/3!*(1-1/n+1)(1-2/(n+1)) …

1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n) < 1/n!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(n-1)/(n+1))

В есть дополнительное положительное слагаемое 1/(n+1)!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-n/(n+1)), поэтому > . Т.к. > , то послед-ть монот. Возрастает.

Теперь докажем, что ограничена сверху.

= 2 + 1/2*(1-1/n) + 1/3!*(1-1/n)(1-2/n) +…+ 1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n) < 2 + 1/2 + 1/3! + 1/4!+ +…+ 1/n! < 2 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ +…+ 1/2^n-1= 1 + (1 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ +…+ 1/2^n-1) = 1 + (1-(1/2)ⁿ/(1-1/2) = 1 + 2(1-(1/2)ⁿ) = 3-1/(2^n-1) < 3

Т.е. послед-ть x_n – ограничена сверху и по теореме существует предел .

14. 1) , ( >1)

X_n = >0 – послед-ть, огранич. снизу

X_n+1 =

X_n+1 / X_n = * = < 1 => n+1 < an =>(a-1)n > 1 => n >

X_n – монот.-убывает при n > и ограничена снизу(по теореме)

Существует предел _n = A

X_n+1= * x_n (A=1/a * A) |* => A=1/a * A => A=0. Следовательно . ч.т.д.

2) , ( >1)

X_n = – послед-ть ограничена снизу

X_n+1=

X_n+1 / X_n= = < 1 => a < n+1 => n > a-1

X_n – монот.-убывает при n > a-1 и ограничена снизу(по теореме)

Существует предел _n = A

X_n+1= * x_n (A=0 * A) |* => A=0. Следовательно . Ч.т.д.

3) = = = = = 0

x_n = – 1 (n>1). Число n представимо в виде n = ( ⁿ = (1 + ())ⁿ = 1 + n( –1)+ + * ( – 1)² + * ( – 1)³ + … + ( – 1)ⁿ > * ( – 1)²

n > * ( – 1)²=> ( – 1)² < => – 1 > |* => по теореме о зажатой послед-ти _n=0.

= = 0 =>

Ч.т.д.

15. Опред.: пусть задана числ. послед-ть x_n. Из натур. мн-ва чисел выберем послед. номеров n₁<n₂<n₃<…<n_k<…. Тогда эл-ты послед-ти x_n с номерами x_n₁, x_n₂, …, x_nk_,… образуют подпоследовательность или частичную послед-ть для послед-ти x_n. Если подпослед-ть сходится, то ее предел назыв. частичным пределом.

Пример: x_n= – числ. послед-ть { x_n, , , …, , …}

{x₂_n} = { , , …, , …} частичные послед-ти (подпослед-ти) для x_n=

{x₂_n₊₁} = {1, , , …, , …}

{x_n} = {1, , , , , …, , …}

Подпослед-ти можно выбирать любыми способами.

Теоремы о подпоследовательностях.

Теор.1: для того чтобы числ. послед-ть имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы любая ее подпослед-ть x_nk сходилась к числу a(без док-ва).

Теор.2: если послед-ть x_n имеет две подпослед-ти, сходящиеся к разным пределам, то данная послед-ть x_n разходится.

Док-во: x_nk→a _приn_k→∞ и x_nm→и при n_m→∞ и a≠b

( ε>0)(Ǝ N₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_nk-a|<ε (1)

( ε>0)(Ǝ N₂(ε)ϵN)( nϵN, n> N₂(ε)):|x_nm-b|<ε (2)

Выберем ε таким, чтобы ε-окр-ти a и b не пересекались. N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)}.

Тогда при n_k> N(ε) и n_m> N(ε) определения (1) и (2) выполняются одновременно. Отсюда следует, что не существует.

Замечание: понятие подпослед-ти и частичной послед-ти удобно использовать для док-ва расходимости послед-ти.

16. Определение предела функции по Коши.

Пусть на E задана ф-я y=f(x) и a – предел точки мн-ва Е. Число А назыв. пределом ф-и f(x) при стремлении x к a, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое положительное число ƃ(ε), что выполняется неравенство |f(x)-A|<ε лишь только при 0<|x-a|<ƃ и обозначается: ó ( ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε.

0<|x-a|<ƃ ó a- ƃ<x<a+ ƃ

a≠x

|f(x)-A|< ε => - ε<f(x)-A< ε |+A => A- ε<f(x)<A+ ε

ƃ (ε) = min{ƃ₁, ƃ₂}

x находится в малой ƃ-окр-ти точки a, а соответствующие значения ф-и лежат в малой ε-окр-ти А.

ó (Ǝ ε₀>0)( ƃ>0)(Ǝ ϵE, 0<| -a|<ƃ): |f()-A|≥ε₀.

Определение предела функции по Гейне.

Пусть на Е задана ф-я f(x) и a-предельная точка мн-ва Е. составим из эл-тов мн-ва Е послед-ть значений x: x₁, x₂, …, x_n, …, отличных от a и сходящихся к a.(x_n→a, x≠a)( nϵN)

Рассмотрим соответствующую послед-ть значений ф-и f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), …. Число А назыв. пределом ф-и f(x) при стремлении x к a, если для любых послед-тей x_ncE, отличных от a и сходящихся к а, соответствующая послед-ть значений ф-и имеет своим пределом число А. ( {x}cE,x_n→a, x_n≠a):f(x_n)→A.

ó Ǝ

Теорема об эквивалентности двух определений предела.

Опред. Предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

Док-во: пусть выполнено определение предела по Коши ( ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε (1).

Покажем, что опред. предела по Гейне также будет выполнено. Для этого выберем послед-ть значений x: x₁, x₂, …, x_n, которая сходится к a и и не равна a.(x_n→a, x≠a). Это возможно, т.к. а-предельная точка мн-ва Е.

Т.к. => ( ƃ=ƃ(ε)>0)(Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n-a|<ƃ.

Тогда при n> N(ε) => |f(x_n)-A|<ε в силу определения (1), т.е. получено след. опред.:

( ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)):|f(x_n)-A|<ε => . Это означает, что выполнено определение предела по Гейне.

Пусть выполняется определение предела по Гейне, т.е. ( {x}cE,x_n→a, x_n≠a):f(x_n)→A. (2) и предположим, что определение предела по Коши не выполнено, т.е. (Ǝ ε₀>0)( ƃ>0)(Ǝ ϵE, 0<| -a|<ƃ): |f()-A|≥ε₀ (3)

Т.к. в определении (3) ƃ-любое, то выберем ƃ= ƃ_n= , а в качестве выберем x_n из опред. (2)

Получаем = x₁, т.е. 0<|x₁-a|< ƃ₁=1 => |f(x₁)-A|≥ε₀

= x₂, т.е. 0<|x₂-a|< ƃ₂= => |f(x₂)-A|≥ε₀

= x_n, т.е. 0<|x_n-a|< ƃ_n= => |f(x_n)-A|≥ε₀ => при ƃ_n→∞, ƃ_n= →0 =>x_n→a, но f(x_n) не→А, т.е. определение предела по Гейне не выполнено. Следовательно они эквивалентны.

17. Пустьна мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и x=a-предельная точка мн-ва Е

Опред.1: число А назыв. правосторонним пределом ф-и а(ч)(пределом ф-и справа) в точке а, если ( ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a<x<a+ƃ): |f(x)-A|<ε и обозначается A=f(a+0)= = .

Опред.2:число А называется левосторонним пределом ф-и а(ч)(пределом ф-и слева) в точке а, если ( ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a-ƃ <x<a): |f(x)-A|<ε и обозначается A=f(a-0)= = .

Необходимое и достаточное условие существования предела ф-и.

Для того, чтобы ф-я имела своим пределом число А при стремлении х к а, необх. и достат., чтобы существовали односторонние пределы в т. а и они были равны между собой

Ǝ f(a-0), f(a+0), f(a-0)=f(a+0)=A

Док-во: 1) необх. Пусть , т.е. выполнено опред.1 ( ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε. Здесь 0<|x-a|<ƃ => a-ƃ<x<a+ƃ

x≠a

т.е. определение (1) выполнено при a-ƃ<x<a и a<x<a+ƃ =>Ǝ =A и Ǝ =A => f(a-0)=f(a+0)=A

2) достат. Пусть Ǝ =A и Ǝ =A ó ( ε>0)(Ǝƃ₁(ε)>0)( xϵE, a- ƃ₁< <x<a): |f(x)-A|<ε (2)

( ε>0)(Ǝƃ₂(ε)>0)( xϵE, a<x<a+ƃ₂): |f(x)-A|<ε (3)

Выберем ƃ(ε)=min{ƃ₁(ε), ƃ₂(ε)}/ тогда при a-ƃ<x<a и a<x<a+ƃ определения (2) и (3) выполн. одновременно. Это означает, что Ǝ .

18. Первый замечательный предел.