Статистическая проверка статистических гипотез

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определённый вид (назовём его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В этой гипотезе речь идёт о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определённому значению, выдвигают гипотезу:. В этой гипотезе речь идёт о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через.

Ошибка второго уровня состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго уровня обозначают через.

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближённое распределение которой известно.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных дисперсий:

.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если по двум выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии и, то наблюдаемое значение критерия.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все её возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством, где - положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством, где - отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством.

Для отыскания критической области достаточно найти критическую точку. Для её нахождения задаются достаточной малой вероятностью – уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

а) для правосторонней критической области

б) для левосторонней критической области

в) для двусторонней симметричной области.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что, то нулевую гипотезу отвергают; если же, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример 4. По двум независимым выборкам, объёмы которых, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии При уровне значимости, проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе.

Р е ш е н и е. Для того чтобы при уровне значимости, проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей)

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид, поэтому критическая область – правосторонняя.

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы (- число степеней свободы большей исправленной дисперсии) находим критическую точку Так как – нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются незначимо.

Использованная литература:

Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для студентов вузов. –М.: Высшая школа, 2002. -479 с.

Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов. –М.: Высшая школа, 2002. -404 с.

Белинский В.А. и др., Высшая математика с основами математической статистики. –М.: Высшая школа, 1965. -516 с.

Маркович Э.С., Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. –М.: Высшая школа, 1972. -480 с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для студентов втузов, ч. 2. –М.: Высшая школа, 1974. -416 с.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., Теория вероятностей: учебное пособие для студентов втузов. –М: Наука, 1973. -366 с.