Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии

Метод произведений даёт удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная условные моменты, можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Покажем применение этого метода на конкретном примере.

Пример 3. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объёма

12 14 16 18 20 22

5 15 50 16 10 4

Составим расчётную таблицу

		-2	-10
		-1	-15

Для контроля вычислений пользуются тождеством =+2+.

К о н т р о л ь:

+2+=127+223+100=273

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

.

Найдём шаг:. В нашем случае ложный нуль.

Вычислим выборочные среднюю и дисперсию:

Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим

Рассмотренный метод был применим для равноотстоящих вариант. Однако на практике, как правило, данные наблюдений не являются равноотстоящими числами. Поэтому предварительно вариационный ряд приводят к равноотстоящим. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака (первоначальные варианты), делят на несколько равных частичных интервалов. Практически в каждый частичный интервал должно попасть не менее 8 – 10 первоначальных вариант. Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант. В качестве частоты каждой «новой» варианты (середины частичного интервала) принимают общее число первоначальных вариант, попавших в соответствующий частичный интервал.

Пример 4. Выборочная совокупность объёма задана таблицей. Составить распределение равноотстоящих вариант.

1,00 1,03 1,05 1,06 1,08 1,10 1,12 1,15 1,16 1,19 1,20 1,23 1,25 1,26 1,29

1 3 6 4 2 4 3 6 5 2 4 4 8 4 4

1,30 1,32 1,33 1,37 1,38 1,39 1,40 1,44 1,45 1,46 1,49 1,50

6 4 5 6 2 1 2 3 3 2 4 2

Разделим интервал 1,00 – 1,50, например, на 5 частичных интервалов:

1,00 – 1,10 1,10 – 1,20 1,20 – 1,30 1,30 – 1,40 1,40 – 1,50.

Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант, получим равноотстоящие варианты 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45. Найдём частоту первой варианты: = 1+3+6+4+2+. Поскольку первоначальная варианта 1,10 одновременно является концом первого частичного интервала и началом второго, частота 4 этой варианты поровну распределена между обоими частичными интервалами. Найдём частоту второй варианты: Продолжая так и далее получим распределение равноотстоящих вариант:

1,05 1,15 1,25 1,35 1,45

18 20 25 22 15

Замена первоначальных вариант серединами частичных интервалов сопровождается ошибками (первоначальные варианты левой половины частичного интервала будут увеличены, а варианты правой половины уменьшены), однако эти ошибки будут в основном погашаться, поскольку они имеют разные знаки. Так в нашем примере, выборочные средняя и дисперсия по первоначальным вариантам будут равны: и по равноотстоящим вариантам =1,246; =0,017. Как видим, замена первоначальных вариант равноотстоящими не привела к существенным ошибкам; при этом объём вычислительной работы значительно уменьшается.