Порожня множина. Обґрунтуйте необхідність використання порожньої множини. Чи завжди будь-яка множина містить у собі порожню множину?

Наприклад, якщо досліджується множина об'єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з'ясовується, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означити за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: Ø = {x|x≠x} тощо. Разом із тим, твердження множина M — не порожня можна замінити рівносильним йому твердженням існують елементи, які належать множині M. Будь яка множина містить порожню.

7. Дайте визначення підмножини. Чим відрізняється поняття включення ( або ) від поняття приналежності ().

Якщо X та Y — множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:

X є підмножиною (частиною) Y, позначення — X ⊆ Y;

Y — над множина (охоплююча множина) X, позначення — Y ⊇ X.

Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не збігається з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X — точна підмножина Y, то цей факт записується як X ⊂ Y. Відношення «бути підмножиною» має назву включення.