Алгебра множин — розділ теорії множин, який визначає закони композиції множин, виходячи з основних властивостей операцій над ними, а також пропонує певну систематичну процедуру для обчислення теоретико-множинних рівнянь та співвідношень.[Джерело?]
З точки зору абстрактної алгебри алгебра множин — це кільце K підмножин множини R, що містить R.
Властивості операцій на множинах
Бінарні операції об'єднання та перетину множин, задовольняють певним фундаментальним алгебраїчним властивостям. Далі вони наводяться без доведення.
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Для будь-яких множин A, B, та C, виконуються такі співвідношення:
комутативність:
A ∪B = B ∪A
A ∩B = B ∩A
асоціативність:
(A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C)
(A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C)
дистрибутивність операції перетину відносно об'єднання:
A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
Як можна спостерігати з наведених співвідношень, з точки зору основних властивостей можна провести певну аналогію між операцією об'єднання множин та операцією множення чисел, операцією перетину множин та операцією додавання чисел. Ця аналогія розвивається в наступному твердженні:
|
|
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Для будь-якої підмножини A універсальної множини U, справедливі наступні співвідношення:
властивості нуля
A ∪Ø = A
A ∩CA = Ø
властивості одиниці
A ∩U = A
A ∪СA = U
Тут елементи Ø та U є нейтральними елементами відносно операцій ∪ та ∩ відповідно, тобто такими, що не впливають на результат операції, аналогічно тому, як в звичайній алгебрі дійсних чисел такими елементами на операціях множення та складання є 1 та 0 відповідно. Але, на відміну від звичайного множення та складання, в алгебрі операцій перетину та об'єднання множин не існує зворотнього елементу.
Наведені закони складають основу алгебри множин. Всі інші співвідношення можуть бути виведені з них безпосередньо.
Принцип дуальності
Наведені вище співвідношення демонструють цікаву закономірність. Якщо в якомусь з законів провести заміни ∪ на ∩, а також Ø на U, то він залишиться справедливим. Це фундаментальна властивість алгебри множин, яка має назву принципа дуальності.
Метод доведення в алгебрі множин з застосуванням теореми о рівності множин (використання двостороннього включення).
ТВЕРДЖЕННЯ 3: Для будь-яких підмножин A та B універсальної множини U, справедливі наступні твердження:
ідемпотентність:
A ∪A = A
A ∩A = A
домінування:
A ∪U = U
A ∩Ø = Ø
поглинання:
A ∪(A ∩B) = A
A ∩(A ∪B) = A
Метод доведення в алгебрі множин з застосуванням основних властивостей операцій над множинами.