Формулы φ(x1,…,xn) и ψ(x1,…,xn) называются эквивалентными (φ≈ψ), если совпадают их таблицы истинности, т.е. совпадают представляемые этими формулами функции.
Основные эквивалентности:
1) ассоциативность
2) Коммутативность:
3) Идемпотентность:
4) Дистрибутивность: ,
5) Поглощение:
6) Законы де Моргана:
7) Двойное отрицание:
8)
9)
10)
11)
Формула φ(x1,…,xn) называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при котором формула принимает значения 1 (соответственно 0).
Формула φ(x1,…,xn) называется тождественно истинной, или тавтологией (тождественно ложной, или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (соответственно 0) при всех наборах значений переменных, т.е. функция fφ является константой 1 (константой 0).
Утверждения:
1) Формула φ тождественно ложна тогда и только тогда, когда ך φ тождественно истинна.
2) Формула φ опровержима тогда и только тогда, когда она не является тождественно истинной
3) Формула φ выполнима тогда и только тогда, когда она не является тождественно ложной.
|
|
Тождественно истинные (тождественно ложные) формулы образуют класс эквивалентности по отношению ≈.
Утверждение: Если формула φ1 тождественно истинна, φ0 – тождественно ложна, то справедливы следующие эквивалентности:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) ,8) , 9) .