Системы координат и высот, применяемые в геодезии

Координатами называют числа, определяющие положение точки земной поверхности относительно исходных линий или поверхностей. В инженерной геодезии наибольшее применение получили системы географических, прямоугольных и полярных координат, а также системы высот.

Система географических координат. Географические координаты могут быть геодезическими и астрономическими. Г е о д е з и ч е с к и е координаты определяют положение точки на поверхности референц-эллипсоида. В этой системе координатами являются широта и долгота точки, а исходными линиями – меридианы и параллели (рисунок 2.2).

Меридианами называются линии пересечения поверхности референц-эллипсоида плоскостями, проходящими через его малую ось, а параллелями – линии пересечения плоскостями, перпендикулярными к малой оси.

Параллель, плоскость которой проходит через центр эллипсоида называется экватором. За начальный меридиан принят Гринвичский меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию в окрестностях Лондона.

Геодезической долготой (L) называется двугранный угол, составленный плоскостью начального меридиана и меридиана данной точки М. Долготы отсчитываются от начального меридиана на восток и на запад от 0 до 180^о. Восточная долгота обозначается со знаком „плюс“, а западная – со знаком „минус“.

Рисунок 2.2 – Географическая система координат

Широтой точки (В) называется угол между нормалью (отвесной линией) данной точки М и плоскостью экватора. Широты отсчитываются от плоскости экватора к северу от 0 до +90^о и к югу от 0 до –90^о. На экваторе широта точки равна 0^о, а на Северном полюсе +90^о.

Если широты и долготы точки отнесены к поверхности геоида, то они называются а с т р о н о м и ч е с к и м и координатами и обозначаются: φ – широта и λ – долгота. Астрономические координаты могут быть определены из астрономических наблюдений.

При составлении планов и карт, а также при пользовании ими удобно применять не географические, а плоские прямоугольные системы координат.

Система плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера. Данную систему используют при крупномасштабном изображении значительных частей земной поверхности, следовательно, и при решении задач, связанных с проектированием строительных комплексов.

В проекции Гаусса-Крюгера обеспечивается сохранение подобного изображения фигур (контуров местности) при переходе с поверхности земного эллипсоида на плоскость. Возникающие при этом искажения в размерах фигур достаточно малы и легко учитываются.

В этой системе поверхность земного эллипсоида разграничивают меридианами через 6 или 3^о по долготе на зоны. Нумерацию зон ведут от нулевого (Гринвичского) меридиана на восток. Число зон с долготой 6^о составляет 60, а с долготой 3^о – 120. Земной эллипсоид вписывают в цилиндр так, чтобы плоскость экватора совместилась с осью цилиндра (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Зональная система прямоугольных координат Гаусса-Крюгера

Каждая зона из центра Земли проектируется на боковую поверхность цилиндра. Затем боковую поверхность цилиндра разворачивают в плоскость, разрезая ее по образующим, проходящим через полюса Земли. На полученном изображении средние (осевые) меридианы зон и экватор остаются без искажений и изображаются прямыми линиями. Остальные меридианы и параллели изображаются кривыми. Искажения размеров контуров возрастают по мере удаления от осевого меридиана к краям зоны. Например, линия длиной d при переходе с поверхности земного эллипсоида на плоскость получит искажение

где y_т = (y₁ + y₂)/2 – среднее значение из ординат начальной y₁ и конечной y₂

точек линии;

R – радиус Земли.

На краях шестиградусных зон относительные искажения могут достигать ∆d / d = 1 / 1500, а в трехградусных – ∆d / d = 1 / 6000.

За начало отсчета координат в каждой зоне принимают точку пересечения осевого меридиана зоны и экватора. При этом осевой меридиан является осью абсцисс (x), а экватор – осью ординат (y). Координатами любой точки M будут являться длины перпендикуляров, опущенные из точки М на оси координат.

Если провести в каждой зоне линии, параллельные оси ординат и абсцисс с интервалом в 1 км, то получится так называемая километровая сетка, которую строят на всех топографических картах. Для территории СНГ, расположенной в северном полушарии, абсциссы всегда положительны. Для того, чтобы и ординаты были положительны, начало координат в зоне смещают на запад на 500 км. В этом случае все точки к востоку и западу от осевого меридиана будут иметь положительные ординаты, которые называются преобразованными.

Преобразованные координаты всегда начинаются с номера зоны. Например, если точка М расположена в четвертой зоне в 25340 км к востоку от осевого меридиана, то ее преобразованная ордината равна 4525340 м, а если на том же расстоянии к западу от того же осевого меридиана, то преобразованная ордината будет y = 4474660 м.

Выбор ширины зоны (6 или 3^о) зависит от точности проектирования строительного комплекса. Если для проектирования нужны топографические материалы масштаба 1:10000 и меньше, то применяют шестиградусные зоны, а для более крупных масштабов – трехградусные.

Местная система плоских прямоугольных координат. Эту систему координат применяют для определения координат точек, на небольших участках земной поверхности принимаемых за плоскость (не более 20 х 20 км).

На плоскости берутся две взаимно-перпендикулярные линии, которые называются о с я м и к о о р д и н а т: ось абсцисс XX и ось ординат YY (рисунок 2.4). Точка пересечения их О служит началом координат.

Направление оси абсцисс обычно принимают совпадающим с направлением меридиана. Координатами любой точки М будут являться длины перпендикуляров, опущенных из точки М на оси координат. Счет четвертей ведется от первой до четвертой по ходу часовой стрелки.

Таблица 2.2– Знаки координат по четвертям

Абсциссы точек в первой и в четвертой четвертях будут положительные, а во второй и третьей – отрицательные. Ординаты точек в первой и второй четвертях положительные, а в третьей и четвертой – отрицательные (таблица 2.2).

Система полярных координат. Эту систему применяют при определении положения точек на небольших участках земной поверхности, обычно при топогра-
Номер четверти	I	II	III	IV
X	+	-	-	+
Y	+	+	-	-

графических съемках местности или при разбивочных работах в строительстве.

За начало координат в данной системе принимают точку О местности (рисунок 2.5), которую называют п о л ю с о м. За начальную координатную линию принимают п о л я р н у ю о с ь ОА, расположенную на местности произвольно или вдоль известной стороны. Полярными координатами любой точки М местности будут являться п о л я р н ы й у г о л (β) отсчитываемый от полярной стороны по ходу часовой стрелки и п о л я р н о е р а с с т о я н и е ОМ = d, определяемое как радиус-вектор.

Система прямоугольных пространственных координат. В последнее время в связи с применением спутниковых навигационных систем в геодезии начали применять систему прямоугольных пространственных координат (X, Y, Z). Начало ее находится в центре О земного эллипсоида, ось Z располагается вдоль полярной оси и направлена на Северный полюс Земли, ось X – в точку пересечения Гринвичского меридиана с экватором, а ось Y перпендикулярна оси X в плоскости экватора (рисунок 2.6).

Эта система используется для определения положения искусственных спутников Земли и ракет в трехмерной и космической геодезии. Сущность ее сводится к обработке геодезических измерений без проектирования их на уровенную поверхность Земли. Полученная система координат (OXYZ) участвует в суточном вращении Земли, оставаясь неподвижной пространственная система относительно точек земной поверхности, и по тому удобна для определения положения объектов земной поверхности.

Система высот. Для определения положения точек на физической поверхности Земли, кроме плоских прямоугольных координат X и Y, называемых плановыми, нужно знать еще третью координату, характеризующую отстояние точки земной поверхности от начальной поверхности. Расстояние Н от точки А земной поверхности по отвесной линии до начальной поверхности называют в ы с о т о й т о ч к и А (см. рисунок 2.7). За начальную поверхность для определения высот в геодезии принимают в качестве основной уровенную поверхность (поверхность геоида), которую называют также уровнем моря.

В странах СНГ и Республике Беларусь принята Балтийская система высот, в которой все высоты отсчитываются от среднего уровня воды в Балтийском море и соответствующему нулю Кронштадского футштока. Нуль Кронштадского футштока представляет собой черту на медной доске, зацементированной в гранитный устой моста. Чертой на футштоке зафиксирован уровень воды в Финском заливе, выведенный из многолетних наблюдений. Высоты, отсчитываемые от уровня Балтийского моря, называют абсолютными.

Если за начало отсчета принимают любую другую поверхность, то высоты, отсчитываемые от этой поверхности, называют относительными. Например, в строительстве часто используют относительную систему высот при возведении зданий и сооружений, принимая за отсчетную поверхность уровенную поверхность, совпадающую с уровнем чистого пола первого этажа здания или цеха промышленного предприятия. Высоты, отсчитываемые от этого уровня, называют условными.

Численное значение абсолютной или относительной (условной) высоты называют отметкой.

На рисунке 2.7 Н_А и Н_В – абсолютные высоты точек А и В земной поверхности, а Н'_А и Н'_В – относительные высоты точек А и В.

Разность высот двух точек называют превышением и обозначают h. Превышение может быть положительным, если точка В выше точки А, или отрицательным, если точка В ниже точки А. Для линии АВ превышение

h_AB = Н_В – Н_А = Н'_В – Н'_А и называется прямым превышением, а для линии ВА – h_BA = Н_А – Н_В = Н'_А – Н'_В и называется обратным превышением. Очевидно, что h_AB = –h_BA т. е. прямое и обратное превышение одной и той же линии равны по величине и обратны по знаку.

Ориентирование линий

При изображении участков местности на бумаге необходимо всегда указывать их положение относительно сторон света (направлений север – юг, восток – запад). Определение направления линии относительно сторон света называют ориентированием линии. Исходными направлениями для ориентирования линий в геодезии служат: 1 – северное направление истинного (географического) меридиана (И.М.), 2 – северное направление магнитного меридиана (М.М.) (меридиана проходящего через ось магнитной стрелки компаса), 3 – северное направление осевого меридиана (О.М.), или направление, параллельное ему (рисунок 2.8).

Ориентирование линий местности относительно исходных направлений осуществляется с помощью следующих ориентирных углов: истинного азимута (А_И), магнитного азимута (А_М), дирекционного угла (α).

И с т и н н ы м а з и м у т о м называют угол между северным направлением истинного меридиана и направлением заданной линии АВ местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки. Истинный азимут в зависимости от направления линии АВ может изменяться от 0 до 360^о.

М а г н и т н ы м а з и м у т о м называют угол между северным направлением магнитного меридиана и заданной линией АВ местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от 0 до 360^о.

Д и р е к ц и о н н ы м у г л о м называется угол между северным направлением осевого меридиана и заданной линией АВ местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от 0 до 360^о.

Из рисунка 2.8 видно, что

А_И = α + γ; (2.1)

А_И = А_М + δ. (2.2)

Приравняв (2.1) и (2.2), получим:

α = А_М + δ – γ; (2.3)

А_М = α + γ – δ. (2.4)

Формулы (2.1) – (2.4) определяют зависимость между истинным азимутом, дирекционным углом и магнитным азимутом данной линии АВ местности. В этих формулах γ – сближение меридианов. Сближением меридианов называется угол между направлением географического меридиана и направлением, параллельным осевому меридиану в данной точке А земной поверхности. Если точка А расположена на осевом меридиане или на экваторе, то γ = 0. В общем случае

γ = ΔL· sin В, (2.5)

где ΔL – разность долгот географического меридиана точки А и осевого ме-

ридиана зоны;

В – широта точки А.

Сближение меридианов отсчитывается всегда от истинного меридиана к осевому и может быть восточным, если осевой меридиан отклоняется к востоку от истинного (см. рисунок 2.8), или западным, если осевой меридиан отклоняется к западу от истинного. Восточному сближению меридианов приписывают знак плюс, а западному – минус. Как видно из формулы (2.5), наибольшее значение сближение меридианов достигает на полюсах (В = ±90^о), где для шестиградусных зон в проекции Гаусса – Крюгера γ = ±3^о.

Угол δ в формулах (2.1) – (2.4) называют склонением магнитной стрелки и определяется как угол между направлениями географического и магнитного меридиана в данной точке А поверхности Земли. Магнитное склонение отсчитывают от истинного меридиана к магнитному. Восточному склонению приписывают знак плюс, а западному – минус. Магнитное склонение зависит как от места на поверхности Земли, так и от времени, и имеет вековые, годичные и суточные периодические изменения. Суточные изменения могут достигать 15'. Сведения о магнитном склонении можно получить на метеостанциях или выбрать из схемы, приведенной под южной рамкой топографической карты.

r = α – 1800

r = 1800 – α

r = 3600 – α

r=α

На практике иногда для ориентирования линий на местности вместо азимутов и дирекционных углов пользуются румбами. Р у м б о м л и н и и называют острый угол между ближайшим концом меридиана и данной линией.

Румбы отсчитывают как от северного, так и от южного концов меридиана по ходу или против хода часовой стрелки и изменяются от 0 до 90^о. Обозначение румба начинают с указания четверти (рисунок 2.9): I четверть – СВ (северо-восток); II – ЮВ (юго-восток); III – ЮЗ (юго-запад); IV – СЗ (северо-запад). Затем записывают числовое значение угла. Например, r_АВ = СВ:35^о20'.

В зависимости от исходного меридиана румбы могут быть истинными, магнитными и осевыми. На рисунке 2.9 показана зависимость между дирекционными углами и осевыми румбами по четвертям. Для перехода от дирекционных углов к румбу и обратно можно пользоваться таблицей 2.3.

Таблица 2.3 – Связь между дирекционными углами и румбами

Номер четверти	Величина дирекционного угла, град	Название румба	Определение румба по дирекционному углу	Определение дирекционного угла по румбу
I II III IV	0–90 90–180 180–270 270–360о	СВ ЮВ ЮЗ СЗ	r = α r = 180о – α r = α – 180о r = 360о – α	α = r α = 180о – r α = 180о + r α = 360о – r

Прямые и обратные дирекционные углы и румбы. Для каждой линии местности различают прямое и обратное направление. Например, для линии АВ (рисунок 2.10, а) направление от А к В считается прямым, а направление от В к А – обратным, и наоборот.

Из рисунка 2.10, а видно, что дирекционные углы прямого α_АВ и обратного α_ВА направлений связаны соотношениями α_ВА = α_АВ + 180^о, т. е. прямой и обратный дирекционные углы отличаются друг от друга на 180^о. В общем виде можно записать, что

α_обр = α_пр ± 180^о. (2.6)

Из рисунка 2.10, а следует также, что прямой и обратный осевые румбы данной линии равны между собой, но противоположны по названию.

Зная дирекционные углы двух линий, можно определить угол, составленный этими линиями. Например, угол β между линиями АВ и AD (см. рисунок 2.10, б) определяется по формуле

β = α_АD – α_АB, (2.7)

т. е. горизонтальный угол между линиями равен разности их дирекционных углов. Из формулы (2.7) видно, что

α_АВ = α_AD – β; α_AD = α_АВ + β, (2.8)

т.е. дирекционный угол линии равен дирекционному углу другой линии плюс или минус горизонтальный угол между этими линиями.

Приборы для ориентирования на местности. Наиболее простым способом ориентирования на местности является определение магнитного азимута линии с помощью буссоли. Б у с с о л ь ю называется прибор для измерения магнитных азимутов. Буссоли могут применяться как самостоятельные инструменты или входить в комплект к другим геодезическим приборам, например к теодолитам (ориентир-буссоли). На рисунке 2.11 изображена ручная буссоль, которая представляет собой круглую коробку с градусным кольцом и магнитной стрелкой, вращающейся в центре кольца. Деления на кольце буссоли нанесены через 1^о. Счет делений идет от 0 до 360^о против хода часовой стрелки. Ручная полевая буссоль, применяемая как самостоятельный инструмент, снабжена глазным и предметным диоптрами. Глазной диоптр имеет узкую щель, а предметный диоптр состоит из прорези, посередине которой натянута нить. Для определения азимута линии визируют через щель глазного и нить предметного диоптров вдоль заданной линии, а по кольцу буссоли отсчитывают угол между северным концом магнитной стрелки и заданным направлением линии, который и является магнитным азимутом.

При работе с буссолью необходимо принять меры к тому, чтобы вблизи не находились железные и стальные предметы. Есть места, называемые магнитными аномалиями, где пользоваться буссолью вообще нельзя (например, Курская магнитная аномалия). Исходя из указанных причин, ориентирование линии при помощи буссоли производится только в отдельных случаях при съемке небольших участков земной поверхности.

Ориентир-буссоль представляет собой прямоугольную коробку с магнитной стрелкой, указывающей направление север-юг. Деления на ориентир-буссоли не нанесены. Ориентир-буссоли используют как принадлежность для измерения магнитных азимутов теодолитом или для ориентирования планшета при мензульной съемке. Определение магнитных азимутов с помощью ориентир-буссоли будет рассмотрено при изучении соответствующих приборов.