Системой прямоугольных (декартовых координат) называется совокупность точки O и базиса, обозначаемого и удовлетворяющего условиям:
1) =1;
2) ,
3) тройка векторов - правая.
Любой вектор можно представить в виде разложения по базису
:
,
числа х, у, z называются прямоугольными ( декартовыми ) координатами вектора .
Геометрический смысл координат вектора – координаты вектора есть проекции этого вектора на координатные оси:
х= ;
у= ;
z= .
Cos a, cos b, cos g - называются направляющими косинусами вектора.
Пусть даны точка М1 (х1,у1,z1) и точка М2 (х2,у2,z2), тогда вектор .
Координаты вектора .
Модуль вектора , равный расстоянию между точками М1 и М2, находится по формуле:
.
Рассмотрим векторы (ха; уа; zа) и (хb; уb; zb), тогда
- если , то (ха+хb; уа+уb; zа+zb);
- если , то (l ха; l уа; l zа).
Условие коллинеарности векторов в координатной форме:
векторы и коллинеарны ( =l ) тогда и только тогда, когда
.
Координаты середины отрезка М1М2:
.
2.7. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) - свойство коммутативности;
2) - скалярное произведение вектора на себя равно квадрату модуля вектора;
3) ( a )= a () – свойство ассоциативности;
4) ( + ) = + - свойство дистрибутивности.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) тогда и только тогда, когда = 0 – условие ортогональности векторов;
2) Два ненулевых вектора и составляют:
- острый угол, если >0;
- тупой угол, если <0;
Скалярное произведение в координатах двух векторов (ха; уа; zа) и (хb; уb; zb) есть число, равное сумме произведений одноименных координат:
= xaxb+yayb+zazb.
Из определения скалярного произведения вытекают следующие формулы:
- косинус угла между векторами ;
- проекция вектора на вектор равна .