Способ секущих параллельных плоскостей

Координаты вершин пирамиды (в мм)

Вариант	A (X, Y, Z)	B (X, Y, Z)	C (X, Y, Z)	D (X, Y, Z)
	40, 20, 50 40, 40, 100 40, 60, 50 30, 50, 40 100, 60, 60 10, 80, 20 60, 60, 50 70, 20, 20 80, 60, 40 70, 70, 30	0, 70, 20 40, 100, 20 60, 90, 40 80, 70, 40 -20, 80, 20 50, 20, 60 40, 90, 50 50, 70, 70 100, 50, 50 60, 50, 80	0, 20, 70 20, 80, 40 20, 100, 100 50, 100, 40 60, 80, 90 50, 70, 40 40, 60, 110 50, 30, 10 50, 60, 80 30, 50, 80	10, 50, 0 90, 60, 40 70, 50, 90 40, 70, 80 40, 100, 30 40, 100, 90 60, 90, 30 20, 30, 70 80, 100, 70 80, 40, 10

Задания 1-4 выполняются на формате А3 (420Х297) карандашом с помощью чертежных инструментов и компонуются согласно рис. 1.

Если исходные данные затрудняют компоновку всех трех заданий на одном листе, то задания 3 и 4 могут быть выполнены на отдельном формате А3. Задания 3 и 4 должны быть снабжены пояснениями (см. рис. 1), содержание которых объяснено ниже. Все надписи выполняют чертежными шрифтами А3,5 либо А5 (наклонным).

Задание 1

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 2. Задают систему координат на комплексном чертеже Монжа [1], рис. 2,а. Буквами X, Y, Z обозначены оси координат. Если в конкретном варианте задано отрицательное значение, то оно должно быть отложено от нуля в противоположном направлении (–Z, –Y, –X), рис. 2, а.

На комплексном чертеже по исходным данным строят парные проекции четырех точек – А, В, С, D: (А₁, А₂); (В₁, В₂); (С₁, С₂); (D₁, D₂). Индекс «единица» используют для обозначения проекций на фронтальную плоскость V (или П₁), «два» – на горизонтальную плоскость Н (или П₂).

Точки соединяются попарно тонкими линиями на каждой из проекций (рис. 2,в).

Видимость «конкурирующих» ребер пирамиды определяется по принципу «выше – ниже», «дальше – ближе». Видимые ребра обводят сплошной основной линией, невидимые – штриховой, толщиной s/3 (рис. 2,г).

Рис. 2,г является первым готовым фрагментом листа задания (см. рис. 1).

Задание 2

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 3.

Задается: изометрическая система координат с осями, направленными друг относительно друга под углом 120° (см. ГОСТ-2.317-69), рис. 3,а [1, 2].

Р и с. 2

Строят единственную проекцию каждой точки по схеме, представленной на рис. 3,б.

Построенные проекции А, В, С, D соединяют попарно тонкими линиями (рис. 3, в).

Оценивают видимость «конкурирующих» ребер (АС и ВD) по принципу «дальше – ближе» с помощью комплексного чертежа (рис. 2,г). Стрелка В показывает направление взгляда в аксонометрии. Легко видеть, что ребро АС расположено на переднем плане и является видимым. Следовательно, ребро BD невидимое и должно быть показано штриховой линией (рис. 3,г).

Рис. 3,г может быть перенесен на формат в качестве второго задания. Здесь же необходимо показать тонкими линиями координатное построение вершин пирамиды.

Р и с. 3

Задание 3

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 4.

Требуется построить следы плоскости боковой грани АВС заданной пирамиды. Напомним [3], что след от плоскости – это прямая пересечения заданной плоскости с плоскостью проекции. Плоскость общего положения пересекается и с фронтальной V, и с горизонтальной Н плоскостями проекций, поэтому и следов будет два: a_V и a_Н. Если плоскость занимает особое (частное) положение в пространстве, то она может иметь единственный след. Например, горизонтальная плоскость имеет единственный след на плоскости проекций V в виде горизонтальной прямой.

Итак, зададим плоскость боковой грани АВС проекциями названных точек, рис. 4,а.

Р и с. 4

Чтобы построить след плоскости, достаточно построить следы двух любых прямых, принадлежащих этой плоскости, и соединить их одноименные проекции. Выбираем прямые АС и ВС.

Строим горизонтальный след прямой АС – точку М₂ пересечения указанной прямой с плоскостью Н, рис. 4,б. Горизонтальный след прямой ВС совпадает с проекцией В₂, поскольку точка В расположена непосредственно на горизонтальной плоскости проекций. Соединяя проекции М₂ и , строим горизонтальный след a_Н плоскости боковой грани АВС.

Описанные построения могут быть представлены стандартными обозначениями:

МÎ(АС)LМÎН,

где Î - принадлежит;

L - объединение «и».

Запись означает: точка М принадлежит прямой АС и одновременно точка М принадлежит плоскости Н.

Аналогично читается вторая строка на рис. 1:

М¢Î(АВ)LМ¢ÎН.

Следующая строка показывает, что прямая (след) включает (Ì) точки М и М¢ в плоскости Н:

a_Н Ì (М, М¢) Ì Н.

Точка пересечения горизонтального следа a_Н с осью ОХ обозначена Х_a (рис. 4,б). Очевидно, что для построения фронтального следа a_V достаточно построить только один фронтальный след любой из прямых, принадлежащих заданной плоскости боковой грани АВС. Например, прямой АС на рис. 4,б. След N = N₁ строят по схеме, приведенной для точки М.

Соединяя точки Х_a и N₁, строят искомый фронтальный след a_V плоскости боковой грани АВС.

Задание 4

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 5.

Требуется построить плоскость, параллельную плоскости боковой грани АВС (a_V, a_Н) и проходящую через вершину пирамиды D. Исходные данные для этой задачи представлены на рис. 5,а.

Если искомая плоскость параллельна заданной, то ее следы параллельны следам заданной плоскости (a_V, a_Н). Поэтому достаточно построить единственную точку на пересечении искомой плоскости с любой из плоскостей проекций (Н либо V) и задача будет решена.

Р и с. 5

Построим в точке D горизонталь h [3]. Очевидно, что ее проекция h₂ будет обязательно параллельна следу a_Н, иначе нарушаются исходные условия параллельности плоскостей (рис. 5,б).

Таким образом, легко строится точка I (I₁, I₂) пересечения горизонтали h с фронтальной плоскостью проекций V. Это и есть искомая точка, через которую должны быть проведены следы b_V и далее b_Н искомой плоскости:

h ' D L h₂÷÷a_Н;

I₁Îb_V L b_V÷÷a_V, b_H÷÷a_H.

Аналогичные построения могут быть выполнены с помощью фронтали f (f₁, f₂), проведенной через точку D. На рис. 1 приведены оба варианта построений. При выполнении заданий студент должен воспользоваться либо построением горизонтали h, либо фронтали f. Пояснения к решению задачи 4 даются только для выбранного варианта решения.

Общие рекомендации

Как видно из примера рис. 1, задачи 3 и 4 компонуются на одном чертеже. Полученные решения необходимо выделить цветными карандашами. Например, лучи a_V, a_Н – красным, b_V и b_Н – синим.

Измерения координат необходимо выполнять в натуральном масштабе миллиметровой шкалы.

В случае необходимости задачи 3 и 4 могут быть представлены на различных чертежах аналогично рис. 4,б и 5,б.

В отдельных вариантах следы прямых при построениях могут выходить за пределы формата. В этом случае необходимо воспользоваться временно зафиксированным вспомогательным листом писчей бумаги. Оставшиеся на формате линии обводят в соответствии с предложенной схемой.

2. основные метрические
задачи (эпюр 2)

2.1. Краткие методические указания
к заданиям 5, 6, 7

На практике очень часто приходится определять величину и форму геометрических объектов, изображенных на чертеже. Задачи, связанные с этим, принято называть метрическими.

Величина и форма геометрического объекта связана с параметрами его формы, которые на чертеже реализуются размерами. Такая реализация возможна при условии отображения на чертеже систем координат, в которых исчисляются размеры линейных протяженностей и углов.

Чертежи, удовлетворяющие этому условию, называются метрически определенными. Примером является чертеж, построенный по схеме эпюра Монжа, аксонометрический чертеж и т.д.

Измерения геометрических элементов в пространстве базируются на оценке длин отрезков, соединяющих пару точек, и на построении взаимно перпендикулярных фигур. Например, для измерения расстояния от точки до прямой необходимо опустить на прямую из точки перпендикуляр, построить его основание и оценить длину полученного отрезка. Аналогичную технологию применяют для определения расстояния от точки до плоскости, между двумя плоскостями и т.д.

При решении таких задач на чертеже следует опираться на свойства проецирования, а также учитывать искажения фигур в процессе их отображения из пространства на плоскость проекций.

При ортогональном проецировании отрезка прямой, параллельной плоскости проекций, его длина не искажается.

Р и с. 6 Р и с. 7

На рис. 6 показан отрезок АВ÷÷П₂. Этот отрезок ортогонально проецируется на П₂ без искажения длины. Не искажается также угол наклона этого отрезка w по отношению к плоскости П₁. Отрезок АВ является горизонталью. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны относительно фронтали –отрезка, параллельного П₁. Отрезок общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением длины. Это видно из рис. 6 на примере отрезка СD, у которого отрезок CI = C₂D₂ является катетом в прямоугольном треугольнике CID. Отрезок CD в этом треугольнике является гипотенузой, которая длиннее катета. На рис. 7 показаны треугольные отсеки АВС и DEF плоскостей, перпендикулярных одной из плоскостей проекций.

Из геометрии известен признак перпендикулярности двух плоскостей: плоскость a перпендикулярна плоскости b, если она содержит прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Из чертежа видно, что АВС^П₂, так как она содержит фронталь 1, 2^П₂. Заметим, что плоскость АВС при этом стала горизонтально проецирующей, а ее проекция на П₂ «выродилась» в прямую.

Фронталь 1, 2 спроецировалась в точку, рис. 7. Аналогичные рассуждения справедливы для плоскости DEF^П₁ и ее горизонтали F₃, рис. 7.

Перейдем теперь к эпюру Монжа. На рис. 8 в системе координат XZYO, развернутой в эпюру, показан чертеж отрезка горизонтали АВ и отрезка CD общего положения. Проекции отрезка CD на плоскостях проекций П₁ и П₂ не равны по длине самому отрезку. Поставим задачу определения истинной длины отрезка CD по его проекциям. Используем рис. 6, на котором показан прямоугольный треугольник CDI. В этом треугольнике отрезок CD является гипотенузой, а катетами являются отрезок CI = C₂D₂ и отрезок D₁ = DD₂ – CC₂. Этот треугольник можно построить, используя информацию из эпюра отрезка CD на рис. 8. Оба катета на чертеже имеются и треугольник можно построить. На рис. 8 задача решена двумя методами. Во втором случае использована проекция C₁D₁, а также разность расстояний от концов проекции C₂D₂ до оси ОХ₁₂ (рис. 8). Этот способ построения истинной величины отрезка известен как метод прямоугольного треугольника. В дальнейшем этот метод нам понадобится.

Построение взаимно перпендикулярных фигур на чертеже основывается на теореме о проецировании прямого угла.

Прямой угол ортогонально проецируется без искажения своей величины, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

Р и с. 8 Р и с. 9

На рис. 9 приведены две задачи, иллюстрирующие применение этой теоремы.

В левой части эпюра задана горизонталь а своими проекциями а₁, а₂ и точка В (ее проекции В₁ и В₂). Требуется определить истинную величину расстояния от точки В до горизонтали а. Для начала необходимо опустить перпендикуляр из В на а. Поскольку аúúП₂, то прямой угол между искомым перпендикуляром и горизонталью проецируется на П₂ без искажения. Строим перпендикуляр из В₂ на а₂. Отмечаем основание К₂. Построение фронтальной проекции перпендикуляра ВК трудностей не составляет. Прямой угол на проекции здесь исказился в полном соответствии с теоремой о проецировании прямого угла. Имеем две проекции искомого расстояния. Теперь методом прямоугольного треугольника строим отрезок К₂I, длина которого равна искомому расстоянию.

В правой части эпюра построены проекции треугольника DEF, перпендикулярного плоскости проекций П₁. Для этого в треугольнике проведена прямая, перпендикулярная П₁. Такой прямой будет горизонталь F₃, ее проекция F₂З₂^ОХ₁₂. В пространстве ось ОХ₁₂ принадлежит плоскостям П₁ и П₂, а горизонталь F₂З2 – П₂. В полном согласии с теоремой, проекция F₂З₂^ОХ₁₂ (рис. 9).

Рассмотренный метод прямоугольного треугольника и теорема о проецировании прямого угла являются базовыми для формирования способов преобразования чертежа.

Под преобразованием чертежа будем понимать формирование на основе исходных проекций объекта некоторых новых его проекций, способствующих решению конкретной задачи (в частности, метрической).

Поскольку исходные и новые проекции являются изображениями одного и того же объекта, форма и величина последнего не должны искажаться в процессе преобразования исходных проекций в новые. Такое условие выполняется в том случае, когда расстояние между парой произвольных точек объекта остается неизменным. Но, как мы видели выше, такое условие будет выполнено, если катет прямоугольного треугольника, формирующего расстояние между двумя точками, остается неизменным (метод прямоугольного треугольника). Выполнение этого условия обеспечивается тем, что одна из проекций преобразуемого чертежа должна оставаться неизменной по форме и величине (один из катетов). От другой исходной проекции должны оставаться неизменными расстояния (либо разности расстояний) от конечных точек проекций отрезков до оси, разделяющей исходные проекции.

На рис. 10 исходные проекции отрезка АВ, А₁В₁ и А₂В₂ преобразованы в проекции того же отрезка. При этом, после преобразования фронтальная проекция А₁В₁ осталась равной исходной проекции А₁В₁, но расположена в новом положении параллельно оси ОХ₁₂. Проекция А₂В₂ расположилась так, что конечные точки проекции сопряжены с соответствующими точками фронтальной проекции линиями связи.

В новом чертеже отрезок АВ расположен параллельно П₂ и поэтому ÷А₂В₂÷ = ÷АВ÷. На чертеже рис. 10 проведено еще одно преобразование, в результате которого отрезок АВ стал перпендикулярным П₁.

Способы преобразования, основанные на перемещениях проекций объекта относительно неподвижной системы координат, называются способами перемещения (перемещение может быть вращением объекта в пространстве и т.п.). Однако можно, оставляя объект неподвижным, заменять исходную систему координат, разворачивая ее каждый раз в эпюр. Такие способы называются способами замены плоскостей проекций (плоскостей координат). Во всех способах остаются постоянными те условия, которые формируют способ прямоугольного треугольника. Можно считать катеты прямоугольного треугольника инвариантами любого преобразования чертежа, сохраняющего форму и величину объекта.

Р и с. 10 Р и с. 11

На рис. 11, 12, 13 приведены примеры решения метрических задач с применением способов преобразования чертежа и теоремы о проецировании прямого угла.

На чертеже рис. 11 задана плоскость АВС и точка D. В задаче требуется построить истинное расстояние от точки D до плоскости АВС.

Для решения задачи построены проекции перпендикуляра из D на АВС. Для определения этих проекций выполнено условие теоремы о проецировании прямого угла. В плоскости АВС построены горизонталь и фронталь. Горизонтальная проекция перпендикуляра представлена как прямая, перпендикулярная горизонтальной проекции h₂ горизонтали. Фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции f₁, фронтали. Для построения точки пересечения перпендикуляра с плоскостью АВС и истинной величины расстояния от D до АВС выполнено преобразование исходных проекций переменой плоскостей проекций. Новая проекция плоскости АВС и точки D выполнена на плоскость П₇, перпендикулярную горизонтали плоскости АВС. При этом плоскость АВС стала проецирующей, а перпендикуляр к ней спроецировался без искажения прямого угла. Точка К₇ является точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью, а отрезок D₇К₇ – истинной величиной расстояния от точки D до плоскости АВС.

Р и с. 12 Р и с. 13

На чертеже рис. 12 задана плоскость треугольником АВС. Требуется преобразованием исходного чертежа построить истинную величину треугольника АВС. Преобразуем чертеж перемещением треугольника АВС в пространстве при неизменной системе координат и плоскостей проекций.

Очевидно, что треугольник АВС спроецируется без искажения величины в том случае, когда его плоскость будет параллельна одной из плоскостей проекций. При этом треугольник будет перпендикулярен другой плоскости проекций. Переместим треугольник в положение, при котором он будет перпендикулярен, например, плоскости П₁. Для этого построим в треугольнике горизонталь(рис. 12) и произведем преобразование с соблюдением постоянства условий формирования прямоугольного треугольника. На рис. 12 не изменилась форма и величина горизонтальной проекции АВС и расстояния от фронтальных проекций вершин треугольника до оси ОХ. После преобразования треугольник стал фронтально проецирующей плоскостью (сравните с рис. 9, справа). Повторным перемещением добиваемся параллельности треугольника плоскости П₂. Проекция А₂В₂С₂ представляет треугольник АВС в истинную величину.

Наконец, рис. 13 представляет собой решение задачи построения истинной величины линейного угла, измеряющего двугранный угол АВС с ребром АВ. Из геометрии известно, что линейный угол двугранного угла измеряется в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла. Отсюда следует, что двугранный угол необходимо переместить в пространстве так, чтобы ребро было перпендикулярно плоскости проекций, на которой мы хотим получить истинную величину линейного угла.

Если считать, что на рис. 10 отрезок АВ представляет собой ребро двугранного угла, то все преобразования на рис. 13 совершенно аналогичны преобразованиям АВ на рис. 10. Разница в том, что на рис. 13 вместе с АВ преобразуются точки С и D. Угол w на рис. 13 представляет собой истинную величину линейного угла, измеряющего исходный двугранный угол АВСD.

2.2. Варианты заданий и указания
по оформлению чертежей

Варианты заданий выбирают из табл. 2. Выбор варианта производят по последней цифре номера студенческого билета или индивидуального шифра студента. Из соответствующей строки таблицы выбирают координаты точек АВСD, которые являются исходными для задач контрольной работы.

Таблица 2

Задания 5, 6 и 7 выполняют на листе формата А3, который оформляют стандартной рамкой и учебной основной надписью, показанной на рис. 14. Исходные чертежи заданий выполняют в масштабе 1:1 по координатам точек из табл. 2 в мм.

Р и с. 14

Задание 5. Опустить высоту из вершины D на противоположную грань АВС и найти точку их пересечения.

Задание 6. Найти длину ребра АВС и угол между ребрами АВ и АD.

Задание 7. Определить угол между гранями АВС и АВD. На рис. 15 приведен образец выполнения заданий 5, 6 и 7 на листе формата А3.

Перед выполнением заданий необходимо проработать материал по метрическим задачам и преобразованиям чертежа по конспектам, либо по изданным текстам лекций преподавателей РГОТУПС. Наряду с этим необходимо использовать учебную литературу, указанную в списке рекомендованной литературы.

3. варианты заданий и методические
указания к задачам 8, 9, 10 (эпюр 3)

При разработке конструкторской и технологической документации различных изделий (например, сложных составных воздуховодов) часто возникает необходимость построения линий пересечения поверхностей. Линии взаимного пересечения поверхностей проще всего построить графически по точкам с помощью поверхностей-посредников. Рассмотрим сущность этого метода.

Пусть заданы две пересекающиеся поверхности F и Θ (рис. 16).

Р и с. 16

Для построения точек линии пересечения этих поверхностей введем вспомогательную секущую поверхность S, которая пересечет поверхности F и Θ по линиям l и m соответственно. Линии l и m пересекутся между собой в точках М и N, поскольку они принадлежат одной поверхности S. Точки M и N будут лежать на линии пересечения поверхностей F и Θ, так как эти точки лежат одновременно на обеих пересекающихся поверхностях.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников обычно применяют плоскости и сферы. Поэтому способы реализации метода посредников называют способами секущих плоскостей и секущих сфер.

Вспомогательные секущие плоскости в большинстве случаев параллельны плоскостям проекций. Однако в отдельных случаях для определения точек линии пересечения поверхностей рациональнее воспользоваться наклонными плоскостями (способ вращающейся или качающейся плоскости).

Способ сфер имеет две разновидности – способ эксцентрических сфер (центры секущих сфер не совпадают) и способ концентрических сфер (сферы имеют один общий центр). Большинство задач на взаимопересечение поверхностей решают рассматриваемым здесь способом концентрических сфер. Способ эксцентрических сфер используют только в том случае, когда одна из пересекающихся поверхностей имеет криволинейную ось и круговые сечения.

В каждом конкретном случае выбирают тот способ построения точек линии пересечения поверхностей, который позволяет выполнить наиболее простые графические построения.

3.1. Основной алгоритм построения точек линии
взаимного пересечения поверхностей

Для построения точек линии (линий) пересечения поверхностей необходимо выполнить следующие основные операции
(см. рис. 16):

1. Задать на чертеже поверхность-посредник S, пересекающую заданные поверхности F и Θ по геометрически простым линиям;

2. Построить линию l пересечения поверхности F с поверхностью-посредником S;

3. Построить линию m пересечения второй поверхности Θ с поверхностью-посредником S;

4. Определить точки М и N пересечения построенных линий l и m;

5. Действия, указанные в пунктах 1…4, повторить для других поверхностей-посредников.

Перед построением множества регулярных точек линии пересечения поверхностей рекомендуется по мере возможности найти и отметить ее характерные (опорные) точки. К ним относятся:

- самая верхняя и самая нижняя точки линии пересечения;

- самая дальняя (по отношению к наблюдателю) и самая ближняя точки;

- точки видимости, т.е. точки, которые разделяют линии пересечения на видимые и невидимые участки;

- некоторые другие точки.

6. Все найденные точки, как характерные (опорные), так и регулярные, последовательно соединяют плавной лекальной кривой (иногда, в частных случаях, отрезками прямых линий).

Следует иметь в виду, что чем большее число поверхностей-посредников участвует в построениях, тем более точно выявляется характер линии (линий) пересечения поверхностей.

Обычно задача на взаимопересечение поверхностей решается на комплексном чертеже в проекциях линий и точек.

Способ секущих параллельных плоскостей

Способ секущих параллельных плоскостей обычно применяют в тех случаях, когда обе пересекающиеся поверхности одновременно можно рассечь каждой из параллельных плоскостей по окружностям либо прямым линиям. Рассмотрим применение этого способа на примере построения точек линии пересечения цилиндра и конуса (рис. 17). Фронтальные проекции 1₂ и 2₂ верхней точки 1 и нижней точки 2 линии пересечения находим без дополнительных построений как точки пересечения очерковых линий конуса и цилиндра. Из точек 1₂ и 2₂ на горизонтальную проекцию проводим линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями фронтальных очерковых линий цилиндра и конуса, совпадающими с горизонтальной осевой линией. В пересечении этих линий отмечаем горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ верхней и нижней точек линий пересечения.

Для построения точек 3₁ и 4₁ видимости горизонтальной проекции искомой линии пересечения поверхностей проводим горизонтальную секущую плоскость S¹, проходящую на уровне оси цилиндра. Эта плоскость пересекает конус по окружности, фронтальная поверхность которой – отрезок А₂В₂, горизонтальная проекция – окружность . Секущая плоскость S¹ пересекает поверхность цилиндра по параллельным прямым, фронтальные проекции которых совпадают с осью цилиндра, а горизонтальные проекции – прямые , являются горизонтальными очерковыми линиями цилиндра. В пересечении линий и отмечаем точки 3₁ и 4₁. Для построения фронтальных проекций 3₂ и 4₂ точек 3 и 4 из точек 3₁ и 4₁ проводим линии связи до пересечения их с фронтальной проекцией горизонтальной очерковой линии цилиндра, совпадающей с осевой линией и следом плоскости S¹.

Р и с. 17

Для построения промежуточных точек 5 и 6 линии пересечения поверхностей проводим некоторую горизонтальную секущую плоскость S². Эта плоскость пересекает конус по окружности, фронтальная проекция которой – отрезок С₂D₂, горизонтальная проекция – окружность . Цилиндр пересекается секущей плоскостью S² по прямым линиям, фронтальные проекции которых совпадают со следом секущей плоскости, горизонтальные проекции – по линии , находящейся на расстоянии a от оси цилиндра (размер a находим по вспомогательной профильной проекции). В пересечении линий и отмечаем горизонтальные проекции 5₁ и 6₁ точек 5 и 6 линии пересечения. Фронтальные проекции 5₂ и 6₂ точек 5 и 6 находим с помощью линий связи, проведенных из точек 5₁ и 6₁ до пересечения их со следом плоскости S².

Проведя вспомогательную секущую плоскость S³, аналогичным образом находим горизонтальные и фронтальные проекции точек 7 и 8 линии пересечения поверхностей. Все найденные точки на горизонтальной и фронтальной проекциях соединяем плавными лекальными линиями с учетом условий видимости (3₁5₁1₁6₁4₁ – сплошная контурная; 3₁7₁2₁8₁4₁ – штриховая).