Важнейшие замкнутые классы

1) Класс функций, сохраняющих ноль. Обозначение: Т₀.

Т₀={ f (x ₁, x ₂,…, x_n)Î P ₂: f (0,0,…,0)=0}, таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые на наборе, состоящем из одних нулей, имеют значение ноль. Или, что то же самое, в верхней строке таблицы истинности значение этих функций равно нулю. И поскольку, ровно половина всех функций в верхней строке равны нулю, то число функций от n переменных, относящихся к классу Т₀, равно . Из элементарных функций к этому классу относятся следующие: 0, х, &, Ú, Å. А такие, как 1, , º, ® не принадлежат классу Т₀.

2) Класс функций, сохраняющих единицу. Обозначение: Т₁.

Т₁={ f (x ₁, x ₂,…, x_n)Î P ₂: f (1,1,…,1)=1}, таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые на наборе, состоящем из одних единиц, имеют значение 1. Или, что то же самое, в нижней строке таблицы истинности значение этих функций равно единице. И, поскольку, ровно половина всех функций в нижней строке равны единице, то число функций от n переменных, относящихся к классу Т₁, равно . Из элементарных функций к этому классу относятся следующие: 1, х, &, Ú, º, ®. А такие, как 0, , Å не принадлежат классу Т₁.

3) Класс самодвойственных функций. Обозначение: S.

S ={ f (x ₁, x ₂,…, x_n)Î P ₂: f (x ₁, x ₂,…, x_n)= f ^*(x ₁, x ₂,…, x_n) }, таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые совпадают с двойственными к ним. Заметим, что такие функции на противоположных наборах принимают противоположные значения, т.к. f (x ₁, x ₂,…, x_n)= . Таблицы истинности этих функций имеют зеркальную симметрию верхней половины строк таблицы и инвертированной нижней половины строк относительно середины всех строк таблицы. Тем самым, самодвойственные функции полностью определяются своими значениями на первой половине строк таблицы. Число таких строк для функций от n переменных равно =2 ⁿ ^-1 и, следовательно, число функций от n переменных, относящихся к классу S, равно . Из элементарных функций самодвойственными являются только тождественная функция х и отрицание .

Лемма о несамодвойственной функции

Если функция алгебры логики не принадлежит классу самодвойственных функций, то всегда можно указать такую замену её переменных функциями х и , что в результате этой замены будет получена константа 0 или 1.

4) Класс монотонных функций. Обозначение: М.

Функция f (x ₁, x ₂,…, x_n)Î P ₂ называется монотонной, если для любых двух наборов a =(a ₁, a ₂,…, a_n) и b =(b ₁, b ₂,…, b_n) таких, что a_i £ b_i, где i =1,2,…, n, следует f (a) £ f (b). Про такие наборы говорят, что набор a предшествует набору b, и обозначают a £ b. Из элементарных функций монотонными являются 0, 1, тождественная функция х, &, Ú. А функции , ®, ½, ¯, Å, º монотонными не являются.

Лемма о немонотонной функции

Если функция алгебры логики не принадлежит классу монотонных функций, то из неё путем подстановки констант 0, 1 и функции х на места переменных можно получить функцию .

5) Класс линейных функций. Обозначение: L.

L ={ f (x ₁, x ₂,…, x_n)Î P ₂: f (x ₁, x ₂,…, x_n)= c ₀Å c ₁× x ₁Å c ₂× x ₂Å…Å c_n × x_n, где c ₀, c ₁, c ₂,…, c_n равны 0 или 1}. Таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые представимы линейным выражением. Различные линейные функции от n переменных отличаются друг от друга составом слагаемых, входящих в их линейные выражения. Этот состав определяется значением коэффициентов: если соответствующий коэффициент равен нулю, то слагаемое отсутствует. И так как число коэффициентов равно n +1, то число функций от n переменных, относящихся к классу L, равно 2 ⁿ ⁺¹. Из элементарных функций линейными являются тождественная функция х, отрицание , константы 0 и 1, а также Å и º.

Лемма о нелинейной функции

Если функция алгебры логики от n переменных f (x ₁, x ₂,…, x_n) нелинейна, то из неё можно получить х ₁& x ₂ путем подстановки констант 0 или 1 и функций х и , а также, возможно, размещением знака отрицания над f.

	Т₀	Т₁	S	M	L
	+	–	–	+	+
	–	+	–	+	+
	–	–	+	–	+
Таблица 8

Отметим, что все замкнутые классы попарно различны. Это хорошо видно из таблицы 8, где знаком «+» отмечена принадлежность функций 0, 1 и к классу, а знаком «–» отсутствие соответствующей функции в классе.

Следующая теорема является необходимым и достаточным условием полноты системы функций алгебры логики.

Теорема Поста о полноте

Система функций алгебры логики является полной тогда, и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов: Т₀, Т₁, S, M и L. Иными словами среди функций этой системы обязательно имеются функции, не сохраняющие ноль и единицу, а также несамодвойственная, немонотонная и нелинейная функции.

Следствие 1: из всякой полной в Р ₂ системы функций можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

Следствие 2: всякий замкнутый класс функций алгебры логики, не совпадающий с множеством всех функций алгебры логики, содержится по крайней мере в одном из классов Т₀, Т₁, S, M или L.

В этом смысле классы Т₀, Т₁, S, M и L являются максимальными или предполными, поскольку добавление к любому из них любой истинностной функции, не принадлежащей классу, приводит к полной системе функций.

Следствие 3: в алгебре логики существует только пять предполных классов: Т₀, Т₁, S, M и L.

Полная система функций алгебры логики называется базисом в Р ₂, если никакая её собственная подсистема не является полной. Иными словами базис – это минимальная по числу функций полная система. Важно, что любая из функций алгебры логики записывается формулой через функции базиса.

Используя теорему о полноте, несложно установить, является ли полной заданная система функций и образует ли она базис? Рассмотрим решение этого вопроса на примере.

Пусть имеется система функций: {0, 1, ®, Å, Ø}. Очевидно, что эта система является функционально полной, поскольку полна её собственная подсистема {Ø, ®}. Понятно также, что исходная система функций не является базисом, т.к. из неё можно удалить функции 0, 1 и Å, и оставшиеся функции все ещё составляют полную систему. Выясним теперь, имеются ли в заданной системе другие полные подсистемы, образующие базис. Для этого составим таблицу принадлежности функций {0, 1, ®, Å, Ø} пяти замкнутым классам.