Параболическая парная зависимость

Параметры параболической формы зависимости у = а ₀ + bх + сх ² находятся методом наименьших квадратов из системы уравнений:

Полученная парабола позволяет определить теоретическое значение у. Криволинейная зависимость должна оцениваться на существенность, для этой цели используется индекс корреляции, который является более общей мерой, чем коэффициент корреляции.

В основе определении индекса корреляции лежит понятие о трех дисперсиях – факторной, остаточной и общей:

σ_ф ² = ∑ (ỹ – у_i)²/ N;σ_ост ² = ∑ (у – у_i))²/ N;σ_общ² = σ_ф ² + σ_ост ².

Индекс корреляции соотносит факторную дисперсию с общей дисперсией:

η = √ σ_ф ² / σ_общ².

Существенность индекса корреляции оценивается с помощью критерия Стьюдента:

t _расч = η √ (n – 2) / (1 – η²).

Расчетное значение t _расч сравнивается с табличным t _табл. Если t _расч больше t _табл, то криволинейная зависимость признается существенной. Окончательный вывод о существенности дает критерий Фишера F, с помощью которого оценивается, насколько полученное уравнение адекватно описывает реальный процесс.

F _расч = η² / (1 – η²) (n – m) / (m – 1),

где m – количество факторов в исследуемом уравнении (для параболы m = 3, для гиперболы m = 2).

Если F _расч > F _табл, то полученное уравнение адекватно описывает реальную зависимость между параметрами и связь признается существенной.

Поскольку стоит задача выбора наилучшей формы парной зависимости, то параболические зависимости строятся для тех же параметров, что и для линейной зависимости (см. табл. 1 приложения):

– между выходной концентрацией и содержанием металла в руде (2–3):

у = –1,38 + 5,17 · х – 2,79 · х ²

– между содержанием металла в руде и извлечением (2–6):

у = 36,5 + 103,35 · х – 66,22 · х ²

– между содержанием металла в руде и содержание металла в хвосте (2 – 7):

у = 0,19 – 0,28 · х + 0,34 · х ²

– между выходной концентрацией и извлечением (3–6):

у = 86,17 – 43,85 · х + 35,94 · х ²

– между выходной концентрацией и содержанием металла в хвоcте (3–7):

у = 0,22 +0,93 · х – 0,54 · х ².

Рассчитаем дисперсии для параболических зависимостей (табл. 7.2).

Таблица дисперсий и результаты оценки существенности:

Поскольку для всех зависимостей расчетное значение критерия Стьюдента t _расч > t _табл, то данные криволинейные зависимости признаются существенными. Проверка с помощью критерия Фишера также показывает, что F _расч > F _табл, т. е. что полученные уравнения адекватно описывают найденные зависимости между параметрами.