Определение 9.10. Корреляционным моментом системы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:
Kxy = μ1,1 = M ((X – M (X))(Y – M (Y))).(9.8)
Для дискретных случайных величин для непрерывных случайных величин
Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффи-циент корреляции
. (9.9)
Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной вели-чины. Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y Kxy = 0. В этом случае f (x,y) = =f 1(x) f 2(y), тогда
Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимы-ми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если Y = aX + b, то rxy = ±1. Найдем возможные значения коэффициента корреляции.
Теорема 9.1.
Доказательство. Докажем сначала, что Действительно, если рассмотреть случай-ную величину
и найти ее дисперсию, то получим:
. Так как дисперсия всегда неотрицательна, то
откуда
Отсюда
что и требовалось доказать.