Формулы полной вероятности

Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей- являются так называемая формула полной вероятности.

Пусть событие A может появиться лишь с одним из несовместных событий , , которое образует полную группу. Сначала появляется одно из событий , а затем событие A, которое при этом может появиться или не появиться.

Пусть известны вероятности и условные вероятности события , какова будет при этом вероятность появления события A? Появление события A означает осуществление одного, безразлично какого из несовместных событий

Следовательно, событие A- есть сумма этих событий, т.к. если Hi несовместно, то их комбинация HiA также несовместна. По теореме сложения вероятность события

.

По теореме умножения вероятностей.

- формула полной вероятности.

Вероятность события A равна сумме произведений каждого из несовместных событий , на соответствующую условную вероятность события A. Т.к. событие A образует полную группу, то .

Т.к. заранее неизвестно, какое событие раньше наступит, то эти события называются гипотезами.

Пример: При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 их общего числа, а число средних и мелких - соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний- с вероятностью 0,3 и мелкий - с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Решение:

В данном примере 3 гипотезы, вероятности которых P(H ₁ ) =0,1; P (H ₂)=0,3 и P (H ₃)=0,6.

Событие A - попадание осколка в броню. Пользуясь формулой полной вероятности, находим:

P (A)=0,1×0,9+0,3×0,3+0,6×0,1=0,24

Формула Бейеса.

(Формулы вероятности гипотез)

Используя формулу полной вероятности, можно получить еще одну важную формулу, которая называется формулой Бейеса или формулой Бейеса или формулой вероятностей гипотез. Эта формула используется в теории ошибок.

Пусть имеем полную группу гипотез Hi. Вероятность каждой из которых имеет определенное значение P(Hi). Допустим, что в результате опыта некоторое событие A, появление его может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез. Каковы бы не были вероятности гипотез Hi после опыта в предположении, что в результате опыта наступило событие A, сначала найдем условную вероятность первой гипотезы P_A(H₁).

По теореме умножения

,

где P(A)- вычисляется по формуле полной вероятности, для гипотезы H₂ - аналогично.

.

Пример.

70% деталей, поступающих на сборку, изготовленные 1 автоматом, дают 2% брака, а 30% деталей, поступающих на сборку, изготовленные 2 автоматом, дают 5% брака. Какова вероятность того, что на удачу взятая изготовленная деталь, сделана 1 автоматом.

Обозначим событие A-взята бракованная деталь, по условию можно сделать 2 гипотезы H₁ и H₂. Вероятности деталей известны, вероятность того, что деталь изготовлена 1 автоматом P(H ₁ )= 0,7, вероятность того, что деталь изготовлена 2 автоматом P(H ₂)=0,3.

Повторение опытов.

Схема Бернулли.

При практическом применении теории вероятности часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие A, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события A в результате серии опытов.

Например: если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий.

В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов.

Также задачи решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми (т.к. при этом легко вычисляется вероятность появления события A).

Опыты независимы, если вероятность того или иного результата в каждом из них не зависит от исходов других опытов. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или не одинаковых условиях. Мы рассматриваем лишь такие опыты, в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.

Задача.

Пусть производиться n-независимых опытов, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p, требуется определить вероятность того, что событие A в этих n-опытах появиться ровно m-раз.

Искомую вероятность обозначим как P_n(m). Рассмотрим сначала частный случай.

n =3, m =2;

Ai -появление события в i -опыте.

- не появление события в i -опыте.

Возможные исходы опыта можно описать схемой, где приведем вероятности различных исходов.

ppq	pqp	qpp
	p2q

Интересующее нас событие сложное- это сумма всех других случаев. Ai- p; - q.

B= + +

Все слагаемые справа несовместны, поэтому вероятность от суммы будет равна сумме вероятности.

B= + + = 3p²q

Рассмотрим общий случай, когда событие появится m-раз. Интересующее нас событие p распадается на сумму несовместных событий, состоящее каждое в том, что в определенных m-опытах, происходит событие A, а в остальных n-m опытах, событие A не происходит, т.е. . Число всех возможных схем из n-элементов, в которых m-раз встречается событие A в различном порядке равно числу сочетаний . Т.к. оно равно находится числу способов

-Формула Бернулли или схема Бернулли.

Задача.

Ожидается прибытие 3-х судов с фруктами, статистика показывает, что 1% фруктов груз портится в дороге, найти вероятность того, что прейдет с порченным грузом 1 судно.

n=3, m=1, p=0,01; q=1-0,01=0,09

Формулой Бернулли практически невозможно пользоваться, если число испытаний большое, т.к. необходимо вычислять факториалы больших цифр. В случае произведение npq ³1, т.е. в этих случаях используют теорему Лапласа.

Существует локальная и интегральная теорема Лапласа.