Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность предыдущего способа, смотрим на картинку:

Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости:

Пример

Составить уравнение плоскости по точкам .

Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:

Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

Больше ничего упростить нельзя, записываем:

Ответ:

Пример

Уравнение плоскости
в отрезках

Преобразуем полное общее уравнение плоскости:

Где , и будут отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Рис.

Построить плоскость

Решение: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Делаем дроби трёхэтажными:

Именно так! – ведь знаменатели могут оказаться и дробными. Но в данном случае всё разделилось нацело:

Таким образом, плоскость проходит через точки . В целях самоконтроля координаты каждой точки устно подставим в исходное уравнение . После чего выполним чертёж:

Задача 6.

Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.