Глава 1. Гидростатика

Давление в неподвижной жидкости называется гидростатическим и обладает следующими двумя свойствами:

- на внешней поверхности жидкости оно всегда направлено по нормали внутрь объема жидкости;

- в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от угла наклона площадки, по которой действует.

Уравнение, выражающее гидростатическое давление р в любой точке неподвижной жидкости в том случае, когда из числа массовых сил на нее действует лишь одна сила тяжести, называется основным уравнением гидростатики:

р = р ₀ + h r g = р ₀ + g h,(1.1)

где р ₀ - давление на какой-либо поверхности уровня жидкости, например, на свободной поверхности;

h - глубина расположения рассматриваемой точки, отсчитанная от поверхности с давлением р ₀.

В тех случаях, когда рассматриваемая точка расположена выше поверхности с давлением р ₀, второй член в формуле (1.1) отрицателен.

Другая форма записи того же уравнения (1.1) имеет вид

,

где z и z ₀ - вертикальные координаты произвольной точки и свободной поверхности, отсчитываемые от горизонтальной плоскости вверх;

р/( r g) - пьезометрическая высота (если р – избыточное давление);

р/( r g) - приведенная пьезометрическая высота (если р – абсолютное давление).

Подавляющее большинство механизмов и сооружений работают при окружающем давлении, равном атмосферному. Наличие в устройстве жидкости или газа под избыточным (вакуумметрическим) давлением обусловливает возникновение в его деталях дополнительных напряжений, которые определяют прочность изделия, а также его работоспособность. Поэтому часто необходимо знать силу избыточного воздействия жидкости на устройство.

Сила избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления p _Cв центре тяжести площади стенки на площадь стенки S, т. е.

F = p _C · S (1.2)

Центр давления (точка приложения силы) расположен ниже центра тяжести площади или совпадает с последним в случае горизонтальной стенки.

Расстояние между центром тяжести площади и центром давления в направлении нормали к линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости равно

, (1.3)

 

где I ₀- момент инерции площади стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести площади и параллельной линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью;

у _С- координата центра тяжести площади.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку, симметричную относительно вертикальной плоскости, складывается из горизонтальной F _x и вертикальной F _z составляющих:

. (1.4)

Горизонтальная составляющая F _x равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию данной стенки:

F _x = h _Cr g S _в. (1.5)

Вертикальная составляющая F _z равна весу тела давления, или другими словами, весу жидкости в объеме W, заключенном между данной стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной проецирующей поверхностью, проведенной по контуру стенки. Если избыточное давление на свободной поверхности жидкости отлично от нуля, то при расчете следует эту поверхность мысленно поднять (или опустить) на высоту (пьезометрическую высоту) /( r g).

Относительный покой жидкости - это равновесие ее в движущихся сосудах, когда помимо силы тяжести на жидкость действует вторая массовая сила - сила инерции переносного движения, причем эта сила постоянна по времени.

Возможны два случая относительного покоя жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно, ив сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. В обоих случаях поверхности уровня, т. е. поверхности равного давления (в том числе и свободная поверхность жидкости) принимают такой вид, при котором равнодействующая массовая сила нормальна к этим поверхностям во всех их точках.

В сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно, поверхности уровня будут плоскими.

В сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси, поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью вращения сосуда.

Уравнение поверхности уровня (в частности, свободной поверхности жидкости в открытом сосуде) в цилиндрических координатах (r, z) имеет вид

, (1.6)

где z ₀ - вертикальная координата вершины параболоида поверхности уровня;

r, z - координаты любой точки поверхности уровня.

Закон распределения давления по объему жидкости, вращающейся вместе с сосудом, выражается уравнением

, (1.7)

где ρ₀ - давление в точке с координатами r = 0, z = z₀. Таким образом, повышение давления в жидкости, возникающее вследствие ее вращения, равно

, (1.8)

что позволяет определить повышение давления в любой интересующей нас точке объема.

 

Указания к решению задач

 

При решении задач по гидростатике прежде всего нужно хорошо усвоить и не смешивать такие понятия, как давление р и сила F.

При решении задач на определение давления в той или иной точке неподвижной жидкости следует пользоваться основным уравнением гидростатики (1.1). Применяя это уравнение, нужно иметь в виду, что второй член в правой части этого уравнения может быть как положительным, так и отрицательным. Очевидно, что при увеличении глубины давление возрастает, а при подъеме – уменьшается.

Необходимо твердо различать давления абсолютное, избыточное и вакуум и обязательно знать связь между давлением, удельным весом и высотой, соответствующей этому давлению (пьезометрической высотой).

При решении задач, в которых даны поршни или системы поршней, следует писать уравнение равновесия, т.е. равенство нулю суммы всех сил, действующих на поршень (систему поршней).

 

 

Примеры решения задач

 

Пример 1.1. В U-образную трубку налиты вода и бензин. Определить плотность бензина, если h_б = 500 мм; h_в = 350 мм. Капиллярный эффект не учитывать.

Решение:

Проведем плоскость равного давления (через нижний мениск бензина). Давления в левом и правом колене на этом уровне будут равны, т.е. можно записать согласно основному уравнению гидростатики:

Р_атм + g_б · h_б = Р_атм + g_в · h_в

Отсюда находим удельный вес бензина

.

или, учитывая, что g = r · g:

.

Ответ: .

 

Пример 1.2. Определить объемный модуль упругости жидкости, если под действием груза А массой 250 кг поршень прошел расстояние Dh = 5 мм. Начальная высота положения поршня (без груза) Н = 1,5 м, диаметры поршня d = 80 мм и резервуара D = 300 мм, высота резервуара h = 1,3 м. Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жестким.

Решение:

Модуль объемной упругости К определяется выражением:

.

Приложение груза вызвало повышение давления на величину:

.

Изменение объема жидкости при этом произошло на величину

.

Учитывая, что начальный объем жидкости определяется как

,

величина, обратная относительному изменению объема, составит:

Окончательно модуль объемной упругости К составит:

К = −0,5 · 10⁶ · (−3696) = 1848 · 10⁶ Па.

Ответ: К = 1848 · 10⁶ Па.

 

Пример 1.3. Плоский прямоугольный щит перекрывает выходное отверстие резервуара под углом α = 60⁰. Щит имеет размеры a × b = 2 × 3 м, вес G = 5 кН. Глубина воды перед щитом h = 5 м. Удельный вес воды g = 10⁴ Н/м³. Трением в шарнирах пренебречь. Определить начальную силу тяги Т троса, необходимую для открывания щита.

 

Решение:

Из рисунка видно, что центр тяжести щита (точка С) находится на глубине

Найдем величину силы избыточного давления воды на затвор:

Приложена сила F в центре давления (точка D), положение которой определяется выражением (сравни с (1.3))

.

Находим

Учитывая, что момент инерции прямоугольника равен , площадь S = a · b, отрезок CD (эксцентриситет е) определится как

.

Окончательно для центра давления получим

l_ц.д. = 4,77 + 0, 07 = 4,84 м.

Для определения силы натяжения троса Т покажем силы, действующие на затвор (см. рис.), и составим уравнение равновесия щита, т.е. сумма моментов действующих сил относительно оси шарнира должна быть равна нулю:

Отсюда находим

 

 

Пример 1.4. Определить усилие натяжения троса при подъеме полусферической крышки в сосуде, если высота уровня жидкости Н = 4 м; избыточное давление Р_м = 2 атм; радиус крышки R = 1 м. Весом крышки пренебречь.

 

Решение:

На крышку действуют две силы: сила натяжения троса Т и сила давления жидкости F_z = γ · W_т.д.

Из условия равновесия крышки получаем, что

Т = F_z = γ · W_т.д.

Поскольку на свободной поверхности жидкости действует избыточное давление, для определения объема тела давления W_т.д. необходимо сначала поднять свободную поверхность на высоту . Тогда объем тела давления определится как разность объемов цилиндра и полусферы:

 

 

Окончательно для силы натяжения троса получим

Т = 10⁴ · 73,3 = 73,3 · 10⁴ Н.

 

Пример 1.5. В сосуд высотой Н = 0,3 м залита жидкость до уровня h = 0,2 м. Определить, до какой угловой скорости ω можно раскрутить сосуд, с тем, чтобы жидкость не выплеснулась из него, если его диаметр D = 100 мм.

 

Решение:

Ось z совместим с осью вращения, а ось r пустим по дну сосуда.

 

Свободная поверхность жидкости во вращающемся сосуде описывается уравнением (1.6)

.

Здесь нам неизвестны z₀ и ω. Учитывая, что z = H при r = D/2, получим

, или (1.9)

Второе уравнение, связывающее z₀ и ω, получим, приравняв объемы жидкости в исходном, статичном и рабочем состояниях.

Исходный объем жидкости определится как

.

Объем параболоида можно определить как

Приравнивая объемы W_исх = W_пар, получаем

(1.10)

Приравнивая теперь (1.9) и (1.10), находим ω:

 

 

Пример 1.6. К прямоугольному бруску, скользящему по тонкому слою масла на горизонтальной поверхности, приложена сила F = 1 Н. Определить скорость установившегося движения бруска. Размеры бруска a × b = 0,2 × 0,1 м. Толщина слоя масла δ = 0,5 мм. Коэффициент динамической вязкости масла μ = 0,050 Па с.

 

Решение:

При установившемся движении бруска (ускорение равно нулю) проекция равнодействующей силы на горизонтальную ось равна нулю, т.е.

F_тр = F.

Учитывая, что слой масла тонкий, можно принять распределение скорости масла по толщине слоя линейным, т.е.

.

И тогда сила F_тр (по закону жидкостного трения Ньютона) определится как

Приравнивая F_тр и F, получаем

 

Пример 1.7. Герметично закрытая цистерна диаметром D = 3 м полностью заполнена керосином плотностью ρ = 830 кг/м³. Показание манометра Р_м = 0,5 атм. Определить силу избыточного давления F керосина на торцевую крышку, а также найти координату приложения этой силы.

 

Решение:

Удельный вес керосина имеет величину

γ = ρ · g = 830 · 10 = 8300 Н/м³.

Сила избыточного давления жидкости на плоскую поверхность определяется как

F = γ · h_ц.т. · S.

Поскольку на свободной поверхности имеется избыточное давление, ее нужно поднять на высоту Р_м/γ (рисунок 1.7а) так, что (см. рисунок 1.7б)

Таким образом

Поскольку днище расположено вертикально, h_ц.т. = l_ц.т.

Положение центра давления определяется величиной l_ц.д.:

Учитывая, что момент инерции круга , получим

Ответ: F = 441 кН, ℓ_ц.д = 7,59 м.

 

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1

 

Задача 1. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры 50 ^оС. На сколько повысилось бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жесткой? Начальная температура бензина 20 ^оС. Модуль объемной упругости бензина принять равным К = 1300 МПа, коэффициент температурного расширения

β_t = 8·10^-4 1/град.

 

Задача 2. Определить избыточное давление на дне океана, глубина которого Н = 10 км, приняв плотность морской воды ρ = 1030 кг/м³ и считая ее несжимаемой. Определить плотность воды на той же глубине с учетом сжимаемости и приняв модуль объемной упругости К = 2·10³ МПа.

 

Задача 3. Определить избыточное давление воды в трубе В, если показание манометра ρ_м = 0,025 МПа. Соединительная трубка заполнена водой и воздухом, как показано на схеме, причем Н₁ = 0,5 м; Н₂ = 3 м.

К задаче 3

Как изменится показание манометра, если при том же давлении в трубе всю соединительную трубку заполнить водой (воздух выпустить через кран К)? Высота Н₃ = 5 м.

 

Задача 4. В цилиндрический бак диаметром D = 2 м до уровня Н = 1,5 м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре ниже уровня бензина на h = 300 мм. Определить вес находящегося в баке бензина, если ρ_б = 700 кг/м³.

 

К задаче 4

К задаче 5

 

 

Задача 5. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде, если показание ртутного прибора h = 368 мм, высота Н = 1 м. Плотность ртути ρ = 13600 кг/м³. Атмосферное давление 736 мм рт. ст.

К задаче 6

Задача 6. Определить, при какой высоте уровня воды начнет открываться клапан К, если сила пружины F_пр = 2 кН, угол ее установки α = 45^о, высота h = 0,3 м. Труба перед клапаном имеет квадратное сечение со стороной а = 300 мм.

 

К задаче 7

Задача 7. Определить абсолютное давление на поверхности жидкости в сосуде и высоту h, если атмосферное давление соответствует h_а = 740 мм рт. ст., поддерживающая сила F = 10 Н, вес сосуда G = 2 Н, а его диаметр d = 60 мм. Толщиной стенки сосуда пренебречь. Плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³.

 

Задача 8. Определить минимальное значение силы F, приложенной к штоку, под действием которой начнется движение поршня диаметром D = 80 мм, если сила пружины, прижимающая клапан к седлу, равна F_пр = 100 Н, избыточное давление жидкости р₂ = 0,2 МПа. Диаметр входного отверстия клапана (седла) d₂ = 10 мм. Диаметр штока d₁ = 40 мм, избыточное давление жидкости в штоковой полости гидроцилиндра р₁ = 1,0 МПа.

 

Задача 9. Определить величину предварительного поджатия пружины дифференциального предохранительного клапана (мм), обеспечивающую начало открытия клапана при ρ_н = 0,8 МПа. Диаметры клапана: D = 24 мм, d = 18 мм; жесткость пружины с = 6 Н/мм. Давление справа от большого и слева от малого поршней – атмосферное.

 

 

	К задаче 8		К задаче 9

 

Задача 10. Определить высоту h столба воды в пьезометрической трубке. Столб воды уравновешивает полый поршень с D = 0,5 и d = 0,2 м, имеющий высоту Н = 0,3 м. Собственным весом поршня и трением в уплотнении пренебречь.

 

	К задаче 10

 

К задаче 11

Задача 11. Определить расположение центра тяжести С бетонного раствора (h_С и l_С), залитого в закрытый кузов автомобиля при его торможении с ускорением а = g. Считать, что кузов имеет форму параллелепипеда: L = 1,92 м, H = 1,2 м и h = 1 м.

 

 

Задача 12. В кузов автомобиля-самосвала до уровня h₁ = 0,4 м налит цементный раствор. Определить наименьший допустимый путь торможения самосвала от скорости υ = 36 км/ч до остановки исходя из условия, что раствор не выплеснулся из кузова. Для упрощения принять, что кузов самосвала имеет форму прямоугольной коробки размерами l = 2,5 м; h = 0,8 м; ширина кузова b = 1,8 м, а движение автомобиля при торможении равнозамедленное.

 

 

Задача 13. При отливке цилиндрической полой заготовки во вращающейся относительно вертикальной оси форме из-за действия сил тяжести нижний внутренний радиус r₁ будет меньше верхнего внутреннего радиуса r₂. Определить их разность, если высота отливки Н = 0,5 м, форма вращается с угловой скоростью ω = 200 с^-1; ее диаметр D = 200 мм и она в начальный момент заполнена на 30 % своего объема.

 

	К задаче 13

 

 

Задача 14. Определить скорость скольжения V прямоугольной пластины (а х в х с = 630 мм х 420 мм х 11 мм) по наклонной плоскости под углом β = 6^о, если между пластиной и плоскостью находится слой масла А – индустриальное 12. Толщина слоя масла δ = 0,5 мм, динамическая вязкость 0,04 Па·С. Плотность материала пластины ρ = 830 кг/м³.

У к а з а н и е. При решении задачи применяется формула Ньютона. Поскольку слой масла тонкий, можно считать, что скорость в нем изменяется по прямолинейному закону.

 

Задача 15. Зазор А между валом и втулкой заполнен индустриальным маслом. Длина втулки L = 1500 мм. К валу, диаметр которого D = 500 мм, приложен постоянный вращающий момент М = 640 Н·м. Толщина зазора δ = 3 мм. Определить частоту вращения вала. Динамическая вязкость масла 0,05 Па·С.

 

У к а з а н и е. При решении задачи применяется формула Ньютона. Поскольку толщина δ слоя масла мала, можно считать, что скорости в нем изменяются по прямолинейному закону. Эпюра касательных напряжений в слое масла принимается прямоугольной; сила трения проходит через центр тяжести этой эпюры.

 

Задача 16. Начальное положение гидравлической системы дистанционного управления представлено на рисунке (рабочая жидкость между поршнями не сжата). При перемещении ведущего поршня (его диаметр D) вправо жидкость постепенно сжимается и давление в ней повышается. Когда манометрическое давление достигает величины р_м = 20 МПа, сила давления на ведомый поршень (его диаметр 28 мм) становится больше силы сопротивления F. С этого момента приходит в движение вправо и ведомый поршень. Диаметр соединительной части цилиндров δ = 14 мм, длина l = 1,50 м. Определить диаметр ведущего поршня, необходимый для того, чтобы ход L = 40 мм обоих поршней был один и тот же.

У к а з а н и е. Коэффициент объемного сжатия рабочей жидкости принять β = 0,59 ·10^-9 м²/Н.

 

 

Задача 17. Горизонтальный цилиндрический резервуар, закрытый полусферическими днищами, заполнен бензином. Длина цилиндрической части резервуара L = 3,3 м, диаметр D = 2 м. Манометр М показывает манометрическое давление р_м = 2,0 МПа. Плотность бензина ρ = 700 кг/м³. Определить силы, разрывающие резервуар по сечениям: 1–1, 2–2, 3–3.

 

Задача 18. Вертикальная цилиндрическая цистерна с полусферической крышкой до самого верха заполнена двумя различными несмешивающимися жидкостями Ж₁ и Ж₂ (соответственно плотности ρ₁ = 1150 кг/м³ и ρ₂ = 1060 кг/м³). Диаметр цистерны D = 2,6 м, высота ее цилиндрической части Н = 4,5 м. Глубина жидкости Ж₁ равна Н/2. Манометр М показывает манометрическое давление р_м = 0,01 МПа. Определить силу, растягивающую болты А, и горизонтальную силу, разрывающую цистерну по сечению 1–1.

 

Задача 19. Круглое отверстие между двумя резервуарами закрыто конической крышкой с размерами D = 550 мм и L = 450 мм. Закрытый резервуар заполнен водой, а открытый резервуар – глицерином. К закрытому резервуару сверху присоединен манометр М, показывающий манометрическое давление р_м = 24,8 МПа. Плотность глицерина ρ = 1500 кг/м³, глубина h = 2 м и Н = 2,55 м. Определить силы, вызывающие растяжение и срез болтов А.

 

Задача 20. Отливка пустотелых чугунных цилиндров высотой Н = 250 мм производится центробежным способом. Во вращающуюся цилиндрическую форму вливаются W = 2,8 литров расплавленного чугуна. Частота вращения формы п = 528 мин ^-1, ее внутренний диаметр D = 200 мм. Определить толщину стенок отливки сверху и снизу.

У к а з а н и е. Объемными деформациями металла пренебречь.

 

Задача 21. Цилиндрический резервуар высотой Н = 2 м заполнен – водой до высоты ¾ Н. Диаметр резервуара D = 1 м. Определить:

1) объем воды, ежесекундно сливающейся из резервуара при его вращении с частотой п = 102 мин^-1 вокруг его вертикальной оси;

2) силу давления на дно резервуара и горизонтальную силу, разрывающую резервуар по сечению 1–1 при его вращении.