Определенный интеграл

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂,… и точек x₁, x₂,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a; b], обозначается , а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на [a; b], т.е.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

4. Если на отрезке [a; b] f(x) £ g(x), то и £ .

5. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое значение x Î [a; b], что .

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) первообразная функцией для функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .

Ряды.

Основные понятия

Числовым рядом называется сумма вида

Где числа u₁, u₂, u₃, …., u_n, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член u_n называют общим членом ряда.

Суммы:

...........

составленные из первых членов ряда, называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁, S₂, S₃,…., S_n Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

или

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S_n ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к +х или к – бесконечность), то такой ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n = S - S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.