Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

1. Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u_n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: ,

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

а) Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда. При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

,

Который сходится при и расходится при , и гармонический ряд

Являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p<1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором : он является сходящимся. Итак, обобщённый гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при .

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u_n стремится к нулю при , то ряд сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда в общем случае не следует расходимость ряда.

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.