Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону тогда ее средняя скорость за промежуток времени вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при , т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Правила дифференцирования
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b), то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1.
2.
3.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Формулы дифференцирования
№ п/п | ||||||||||
C | х | хп | ex | ax | ||||||
nxn-1 | cos x | -sin x | ex | ax |
№ п/п | ||||||
arcsin x | arccos x | arctg x | arcctg x | |||
Производная сложной функции
|
|
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции и , причем область определения функции содержит область значений функции .
Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Дифференциал
Дифференциал функции – это главная часть приращения функции в точке х, так что , где – бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
,
где – дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение (см. рис. 8). Приближенное равенство используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения заменяют приближением: |