2017-11-30
336
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону 
тогда ее средняя скорость за промежуток времени 
вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при 
, т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Правила дифференцирования
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b), то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1. 
2. 
3. 
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Формулы дифференцирования
| № п/п | ||||||||||
| C | х | хп | 
| 
| 
| 
| 
| ex | ax |
| nxn-1 | 
| cos x | -sin x | 
| 
| ex | ax 
|
| № п/п | ||||||
|
| 
| 
| arcsin x | arccos x | arctg x | arcctg x |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Производная сложной функции
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции 
и 
, причем область определения функции содержит область значений функции .
Функция, заданная формулой 
, называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Дифференциал
Дифференциал 
функции 
– это главная часть приращения функции 
в точке х, так что 
, где 
– бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
,
где 
– дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
| Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение  (см. рис. 8).
Приближенное равенство  используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения  заменяют приближением: 
|
