Определение. Вектор называется векторным произведением векторов , обозначается , если выполнены 3 условия:
1) , .
2) Векторы образуют правоориентированную тройку, то есть с конца вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки.
3) параллелограмма, образованного парой векторов , то есть .
Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.
Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей , и вычислить этот определитель.
= . Миноры порядка 2 вычислятся, эти числа как раз и будут координатами нового вектора, который является векторным произведением.
Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)
= = . Ответ (1,-2,1).
Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).
Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.
Смешанное произведение. Определеятся так: .
Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа.
Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: .
Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится
, то есть 1-я координата векторного произведения как раз и умножается на 1-ю координату вектора , 2-я на 2-ю и т.д. то есть это и есть .
Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.