Векторное произведение

Определение. Вектор называется векторным произведением векторов , обозначается , если выполнены 3 условия:

1) , .

2) Векторы образуют правоориентированную тройку, то есть с конца вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки.

3) параллелограмма, образованного парой векторов , то есть .

Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей , и вычислить этот определитель.

= . Миноры порядка 2 вычислятся, эти числа как раз и будут координатами нового вектора, который является векторным произведением.

Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)

= = . Ответ (1,-2,1).

Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.

Смешанное произведение. Определеятся так: .

Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа.

Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: .