Методы решения систем с квадратной основной матрицей

5 6 7 8 9 10 11

Матричный метод.

, или . Слева домножим обратную матрицу:

, то есть , то есть . Получается, что все можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.

Пример. .

Матричный вид системы: , обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это . Тогда = . Итак, , .

Метод Крамера.

Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её . Тогда верны следующие формулы для . для каждого i от 1 до n.

Доказательство формул Крамера

Запишем матричное равенство , учитывая структуру обратной матрицы:

тогда как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, и умножаются они на , то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы. Аналогично и для остальных номеров переменных.

Рассмотрим на примере той же самой системы: .

, .

Эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше. Поэтому изучим метод Гаусса:

Метод Гаусса.

Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового , вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент (для каждой строки разные). Теперь будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем , вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже , ниже , и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз букв «». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот .

После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь . Это и позволит нам сначала выразить , затем с этой известной информацией подняться в предпоследнее уравнение, и найти , и так дажее до 1-го уравнения, где найдём .