2017-10-25
672
Произвольная система
система из m линейных уравнений с m неизвестными.
Примечание. Не обязательно все n переменных есть в каждом уравнении, в некоторых какие-то могут быть пропущены, то есть коэффициенты 
= 0.
Уравнения здесь называются линейными потому, что все неизвестные именно в первой степени, то есть нигде не возводятся в квадрат, не умножаются между собой, не извлекается корень и т.д.
Если при этом ещё и все 
, то система называется однородной.
Решением системы называется такой набор констант 
, что при подстановке их вместо 
во всех уравнениях получатся тождества. Можно представлять также и в виде вектора 
.
Обычный, матричный и векторный виды записи системы уравнений:
, 
,
.
Основная (А) и расширенная матрица (С).
, 
.
Определение. Если существует хотя бы одно решение (то есть набор 
, обращающий в тождества все уравнения) то система называется совместной, а если решения не существует, то несовместной, или противоречивой.
Слово «совместная» система означает, что уравнения совместны между собой, не противоречат друг другу. Примеры:
Совместная: 
есть решение (1,1).
Несовместная 
если вычесть из 2-го уравнения удвоенное первое, получим противоречие: 0=2. А вот если в правой части 2-го уравнения было бы 4, а не 6, то система была бы совместной.
Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой.
Определённая: экв. 
решение (1,1).
Неопределённая: 
Решения: (1,1) или (2,0) или (0,2) или (3,-1) или (4,-2), их бесконечно много. Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует 
. Что бы мы ни подставляли вместо 
, найдётся 
. Единственного точного решения как такового здесь нет, их бесконечно много. Запись здесь называется общим решением, а переменная , которую перенесли вправо и можем свободно задавать - свободной переменной.
Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.
Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда 
(ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).
Замечание. Вообще, при добавлении нового столбца ранг может или остаться прежним, или увеличиться на 1.
Идея доказательства. Если вектор 
(вспомним векторный вид системы) является линейной комбинацией столбцов матрицы А, то существуют - коэффициенты, и решение существует, а если он не является линейной комбинацией столбцов матрицы А, то не существует, и решения нет.
или 
.
ЛЕКЦИЯ № 4. 26.09.2017
Рассмотрим систему и её расширенную матрицу:
, 
. Если рассматривать основную матрицу (до черты) там ранг = 1, потому что во 2-й строке только нули. А если всю расширенную матрицу, то там есть невырожденный минор 2-го порядка: 
. Ранги основной и расширенной матриц не совпадают.
Геометрический смысл при n=2.
Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных:
Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут:
1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая.
2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая.
3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.
