Пересечение кривой поверхности плоскостью

Линия пересечения кривой поверхности (напр. цилиндра, конуса или шара) плоскостью, в общем случае, является плоской кривой, все точки которой принадлежат и кривой поверхности и секущей плоскости. Для её отыскания применим следующий прием.

Данная поверхность и секущая плоскость пересекаются целым рядом вспомогательных плоскостей. Каждая вспомогательная плоскость пересекает кривую поверхность по кривой (в общем случае), а секущую плоскость – по прямой. Взаимное пересечение этих линий и определяет точки кривой сечения.

Рассмотрим применение этого метода для построения кривой сечения поверхности конуса плоскостью (рис. 5).

При пересечении поверхности конуса плоскостью, получаются следующие кривые линии (рис. 4):

1. Окружность или эллипс – если секущая плоскость пересекает все образующие конуса.

2. Парабола – если плоскость сечения параллельна одной образующей.

3. Гипербола – если плоскость сечения параллельна двум образующим конической поверхности.

4. Треугольник – если секущая

плоскость проходит через вершину и основание. Рис. 4

Пример. Рассмотрим построение линии пересечения поверхности конуса с фронтально-проектирующей плоскостью Р: (рис. 5). Здесь след плоскости – собирающий.

Линия пересечения поверхности конуса с проектирующей плоскостью представляет собой эллипс.

На рис. 5 показано построение точки пересечения образующей конуса с собирающим следом плоскости .

Фронтальная проекция названной точки определена на пересечении фронтальной проекции образующей конуса с фронтальным следом секущей плоскости; горизонтальная проекция 1 точки построена на горизонтальной проекции образующей.

Рис. 5 Рис. 6

Для построения сечения на поверхности конуса выбраны 8 образующих (рис. 6). Точки 3, 4, 5, 7, 8 сечения построены точно так же, как точка 1 на рис. 5. Для определения же точек 2 и 6 мысленно поворачиваем конус на по часовой стрелке до совпадения точки с очерковой образующей конуса: . Далее переносим их вниз по линии проекционной связи до пересечения с образующей ас на горизонтальной плоскости проекций и радиусом определяем точки 6 и 2 на горизонтальных проекциях центральных образующих sq и sc конуса (рис. 6).

Кривая сечения поверхности данного конуса плоскостью представляет собой эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. На рис. 6 показано законченное построение проекций этого эллипса.

Соединив плавной кривой линией горизонтальные проекции точек 1, 2, 3... 8, получим горизонтальную проекцию сечения - эллипса. Фронтальная проекция сечения совпадает с отрезком на собирающем следе секущей плоскости.