I. Способ перемены одной плоскости проекций

Задача 1. Найти расстояние от точки до плоскости общего положения Р .

Расстояние от точки до заданной плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Если построить проецирующую проекцию данной плоскости, то этот перпендикуляр к ней будет параллелен плоскости проекции и его длина будет соответствовать истинному расстоянию от точки до плоскости.

Для решения этой задачи способом перемены плоскости проекции, необходимо выбрать новую плоскость проекций, параллельную этому искомому расстоянию.

Для этого строим новую плоскость проекций перпендикулярно к данной плоскости Р. Как ранее указывалось, если некоторая плоскость перпендикулярна к одной плоскости проекций, то её след на другой плоскости проекций перпендикулярен к оси проекций. Следовательно, если выбирается новая плоскость проекций , то на ортогональном чертеже новая ось [11] должна быть выбрана перпендикулярно к следу . На рисунке 78 проведена новая ось проекций перпендикулярно к следу и построен новый след , а также новая проекция точки .

Рис. 78 Рис. 79

Из точки опускаем перпендикуляр на след и отмечаем точку его пересечения с этим следом (см. рис. 79): отрезок будет являться проекцией искомого расстояния на плоскость . Длина же проекции равна искомому расстоянию, т.к. плоскость была выбрана параллельно этому расстоянию.

Для построения проекции искомого расстояния на плоскость Н через точку проведена линия проекционной связи, перпендикулярная к оси , а через точку а – прямая, перпендикулярная к следу : взаимное пересечение указанных прямых определяет точку k (рис. 79).

В рассматриваемой задаче в результате перемены плоскости проекций V на , плоскость общего положения Р, заданная в системе , оказалась плоскостью фронтально-проектирующей в системе .

Выполним решение задачи, приводимой ранее на рисунках 7-8, пользуясь рассматриваемым методом перемены одной плоскости проекций и сравним какой метод проще.

Задача 2. Определить длину отрезка прямой общего положения (рис. 80).

Р е ш е н и е. Выберем новую плоскость проекций , параллельную данному отрезку , чтобы длина проекции этого отрезка на эту новую плоскость была равна длине самого отрезка, т.е что и требуется: разберём это построение на ортогональном чертеже.

Если прямая параллельна одной плоскости проекций, то на другой плоскости проекций она изображается прямой параллельной оси проекций –– это положение очевидно, если такое частное положение прямой представим в пространстве взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций (см. рис. 1-2).

Таким образом, выбирая новую плоскость проекций параллельно отрезку АВ, на ортогональном чертеже этому выбору плоскости проекций соответствует выбор новой оси параллельно горизонтальной проекции отрезка .

 

 

Рис. 80. Рис. 81.

На рисунке 81 эта ось [12] проведена. Построена также проекция данного отрезка на новой плоскости . Для построения точек и от оси откладываются отрезки равные соответственно расстояниям точек и до оси .

Длина отрезка равна длине отрезка АВ.

Угол является углом наклона прямой АВ к плоскости Н.

Задача 3. Определить расстояние между двумя параллельными плоскостями и (рис. 82).

Для решения задачи необходимо выбрать новую плоскость проекций , параллельно искомому расстоянию, чтобы искомое расстояние проектировалось на эту плоскость без искажения в истинную величину, т.е. должна быть перпендикулярна к данным плоскостям P и Q. В то же время перпендикулярна к плоскости Н и при этом параллельна искомому расстоянию между заданными плоскостями, потому что оно будет проектироваться без искажения на плоскость , которая перпендикулярна к данным плоскостям. Таким образом, для решения задачи выбираем новую плоскость проекций , перпендикулярную к данным плоскостям P и Q.

Рис. 82

Известно, что если некоторая плоскость перпендикулярна к одной плоскости проекций, то её след на другой плоскости проекций перпендикулярен к оси проекций. Т.е. при выборе новой плоскости проекций на ортогональном чертеже новая ось системы должна быть выбрана перпендикулярно к параллельным следам и .

Точки схода и следов плоскостей в системе определяются на пересечении следов и с осью (рис. 83). Таким образом для построения следов и достаточно найти ещё по одной точке. Эти точки могут быть следами горизонталей плоскостей P и Q на плоскости .

На рисунке 83 в заданных плоскостях P и Q проведены горизонтали. Горизонтальные проекции и следов этих горизонталей на плоскости определены на пересечении горизонтальных проекций горизонталей с осью .

Новые фронтальные проекции следов и построены на прямых, проходящих через точки и перпендикулярно к оси (на линиях проекционных связей) на расстояниях от этой оси, равным отрезкам соответственно и (расстояния горизонталей до плоскости Н).

След проведён через точки и , а след – через точки и .

Новые фронтальные проекции горизонталей проходят через точки и параллельно оси .

В рассматриваемой задаче, в результате перемены плоскости проекций V на , заданные параллельные плоскости P и Q общего положения в системе , оказались плоскостями фронтально-проектирующими в системе .

Рис. 83

Для построения проекции – искомого расстояния между параллельными плоскостями, проведён перпендикуляр, пересечения его со следами и в плоскости проекций ( ||V₁), которые и определят точки k и l (см. рис. 83).