Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) n-го порядка

Математическая формулировка задачи

(4.12)

– начальные условия (4.13)

 

Сведение задачи Коши для ОДУ n-го порядка к задаче Коши для системы n ОДУ 1-го порядка

Введем (n-1) дополнительные неизвестные функции по правилу:

, , …, (4.14)

 

Тогда вместо уравнения (4.12) получим систему ОДУ 1-го порядка:

, (4.15)

Соответственно, начальные условия приводятся к виду

– начальные условия (4.16)

 

Вариант метода Эйлера решения задачи Коши для системы ОДУ 1-го порядка.

Наиболее простым и естественным для численного решения задачи Коши (4.15)-(4.16) представляется следующий алгоритм метода Эйлера:

– для первого уравнения использовать интегрирование по формуле левых прямоугольников (без уточнения),

– для остальных – по формуле трапеции, т.е.:

– задано (начальные условия)

(4.17)

 

 

Задача об изгибе консоли (задача Коши)

Задание.

Рассмотрим задачу об изгибе консоли, жестко закрепленной с левого края (рис. 4.3).

Определить прогиб консоли (решить задачу Коши)

(Л4.1)

методом Эйлера.

 

Рис. 4.3. К задаче об изгибе консоли.

 

Варианты задания.

– изгибающие моменты в балке (рис. 4.3);

– жесткость балки; – числовой параметр,

– длина балки; – номер группы, – номер студента по журналу.

Принять для расчета на ЭВМ число точек .

 

Предварительные построения.

Сводим основное уравнение исходной задачи второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

 

(Л4.2)

где .