Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Внешняя и внутренняя поверхности прямой цилиндрической трубы поддерживаются при постоянных температурах t´ _сти t´´ _ст. Изотермические поверхности будут цилиндрическими поверхностями, имеющими общую ось с трубой. Температура будет изменяться только в направлении радиуса, благодаря этому и поток тепла будет тоже радиальным. Полагаем, что труба имеет бесконечную длину. Температурное поле в этом случае будет одномерным

t = f (r),

где r — текущая цилиндрическая координата.

В случае неравномерного распределения температур на поверхностях трубы температурное поле не будет одномерным и последнее уравнение не будет действительным.

На рис. 2-3 изображена труба, в которой тепловой поток направлен по радиальным направлениям. Рассмотрим участок трубы длиной l. Площадь поверхности F на расстоянии r от оси будет равна 2 πrl. Температура внутренней поверхности равна t´ _ст, наружной — t´´ _ст. Через поверхности проходит один и тот же тепловой поток.

Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr. Площади поверхностей, через которые проходит тепловой поток в слое, можно принять одинаковыми и рассматривать этот элементарный слой как плоскую стенку. Разность температур между поверхностями будет также бесконечно малой величиной, равной dt. По закону Фурье

,

или для кольцевого слоя

.

Разделяя переменные, получаем

. (a)

Интегрируя уравнение (a) в пределах от t´ _стдо t´´ _ст и от r ₁ до r ₂ при λ = const, получаем

,

,

откуда

Вт. (2-13)

Как видно из уравнения, распределение температуры в стенке цилиндрической трубы имеет вид логарифмической кривой. Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными граничными условиями и зависит от отношения наружного диаметра к внутреннему.

Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы и к 1 м ²внутренней или внешней поверхности. Тогда расчетные формулы принимают вид

Вт/м; (2-14)

Вт/м²; (2-15)

Вт/м². (2-16)