Пример применения критерия Сэвиджа

Применим изложенный выше алгоритм действий для принятия решения в условиях задачи из п. 1 (табл. 2).

1. Найдем наибольшую возможную величину прибыли для каждого сценария развития региона:

y₁ = max (x₁₁, x₂₁) = max(45, 20) = 45

y₂ = max (x₁₂, x₂₂) = max(25, 60) = 60

y₃ = max (x₁₃, x₂₃) = max(50, 25) = 50

2. Рассчитаем значения "сожалений" для каждого проекта при каждом сценарии (т.е. найдем недополученную прибыль по сравнению с максимально возможной при данном сценарии развития). Составим из полученных значений "матрицу сожалений" (см. табл.2.3).для проекта Х₁:

r₁₁ = y₁ - x₁₁ = 45 - 45 = 0

r₁₂ = y₂ - x₁₂ = 60 - 25 = 35

r₁₃ = y₃ - x₁₃ = 50 - 50 = 0

для проекта Х₂:

r₂₁ = y₁ - x₂₁ = 45 - 20 = 25

r₂₂ = y₂ - x₂₂ = 60 - 60 = 0

r₂₃ = y₃ - x₂₃ = 50 - 25 = 25

Табл.3. Матрица сожалений R (для примера).

Альтернативы (Xi)	Состояния природы (j)	Макс. "сожаление" Si
X1
X2
yj

4. В полученной матрице по каждой строке найдем наибольшую величину "сожаления" для каждого проекта (последний столбец в табл. 3). Это значение соответствует оценке данной альтернативы по критерию Сэвиджа.

S₁ = max(0, 35, 0) = 35

S₂ = max(25, 0, 25) = 25

5. Сравним полученные величины и найдем проект с минимальным (!) значением критерия. Он и будет оптимальным:

35 > 25 => S₁> S₂ => X* = X₂

ЛПР, руководствующийся при принятии решений критерием Сэвиджа, выберет проект Х₂.

Еще раз подчеркнем, что в отличие от остальных критериев, наилучшей альтернативой является та, для которой значение критерия Сэвиджа минимально, поскольку критерий отражает наибольший из возможных недополученных выигрышей для данной альтернативы. Разумеется, чем меньше можно недополучить, тем лучше.

Критерий Гурвица

Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы x_{i max} и x_{i min} каждой альтернативы:

x_{i max}= max(x_ij), x_{i min}= min(x_ij), j = 1..M

Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма" λ, 0 ≤ λ ≤ 1. Формула для расчета критерия Гурвица для i-й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:

H_i (λ) = λ x_{i max} + (1 - λ) x_{i min}

Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:

Х* = Х_k , H_k(λ) = max(H_i (λ)), i = 1..N

Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ.

Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода x_imin в оценке альтернативы должен быть выше, чем для x_imах. Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5, исключая последнее значение.

При λ=0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.

Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ=1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.

Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5.