2017-12-14
1156
Хотя во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу многообразия и сложности экономических процессовограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Так близость линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит, что связь между соответствующими экономическими переменными отсутствует. При слабой линейной связи может быть очень тесной, например, не линейная связь. Поэтому необходимо рассмотреть и нелинейные регрессии, построение и анализ которых имеют свою специфику.
В случае, когда между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей.
Различает две группы нелинейных регрессионных моделей:
модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
|
|
|
модели нелинейные по оцениваемым параметрам.
К первой группе относятся, например, следующие виды функций:
- полином 2-й степени;
- полином 3-й степени;
- гипербола.
Ко второй группе относятся:
- степенная;
- показательная;
- экспоненциальная, и др. виды функций.
Классическим примером функций, относящихся к первой группе, являются кривые Филипса и Энгеля:
и 
, соответственно.
Первая функция характеризует нелинейные соотношения между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы у. Из данной зависимости следует, что с ростом уровня безработицы темпы роста заработной платы в пределе стремится к нулю.
Вторая функция устанавливает закономерность – с ростом дохода доля расходов на продовольствие - уменьшается. Здесь у, обозначает - долю расходов на непродовольственные товары; х – доходы.
Первая группа нелинейных функций легко может быть линеаризована (приведена к линейному виду). Например, для полинома к -го порядка
производя замену:
, 
, 
,…, 
получим линейную модель вида
.
Аналогично могут быть линеаризованы и другие виды нелинейных функций 1-й группы, производя соответствующие замены.
Для оценки параметров нелинейных функций первой группы можно использовать, обычный МНК, аналогично, как и в случае линейных функций.
Иначе обстоит дело с группой регрессионных, нелинейных функций по оцениваемым параметрам. Данную группу функций можно разбить на две подгруппы:
нелинейные модели внутренне линейные;
нелинейные модели внутренне нелинейные.
Рассмотрим степенную функцию 
. Она нелинейная относительно параметров 
и b. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как, прологарифмировав ее можно привести к линейному виду:
|
|
|
.
Следовательно, ее параметры могут быть найдены обычным МНК.
Если модель представить в виде:
, то модель становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно преобразовать в линейный вид.
Внутренне нелинейной будет и модель вида
В эконометрических исследованиях, часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые легко преобразуются в линейный вид, относят к группе линейных моделей. Например, к линейным моделям относят модель:
, так как
.
Если, модель внутренне нелинейная по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные методы, успешность которых зависит от вида функции и особенностей применяемого итеративного подхода.
Применение МНК в случае нелинейных функций, рассмотрим на примере оценки параметров степенной функции 
.
Прологарифмировав данную функцию, получим:
или, производя обозначения:
, где
; 
; 
; 
.
Применив МНК к полученному уравнению:
, или
Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр а – косвенным путем: 
Для экономической интерпретации нелинейных связей обычно используют коэффициент эластичности, который характеризует относительное изменение зависимой переменной при изменении объясняющей переменной на 1%. Если уравнение регрессии имеет вид 
, то коэффициент эластичности рассчитывается так:
, где 
- средние значения, а производная берется в точке 
.
