Линейные преобразователи сигналов на базе ОУ

Суммирующие и вычитающие устройства. На рис. 1.8 показан сумматор с произвольным числом входов. Собственно суммирование производится с помощью резисторов R ₁… R _n, а ОУ обеспечивает усиление и низкое выходное сопротивление устройства.

В соответствии с принципом мнимой земли потенциал инвертирующего входа равен нулю. Поэтому входной ток i -го канала I_i = U _{вх. i} / R_i. Ток в цепи обратной связи
I _ОС = – U _вых/ R _ОС. Согласно первому закону Кирхгофа

Подставляем выражения для I_i и I _ОС и находим U _вых :

где K_i = – R _OC/ R_i.

Как видно, имеется возможность индивидуальной установки весового коэффициента K_i для каждого слагаемого.

Обобщая схемы рис. 1.7, в и рис. 1.8, можно построить схему суммирования с произвольным знаком и весом (рис. 1.9). Напряжения, которые входят в сумму с положительным знаком, обозначены индексом "П", с отрицательным – индексом "О". Выражение для выходного напряжения нетрудно вывести из системы двух уравнений по первому закону Кирхгофа для входов ОУ. Получаем:

Резисторы R _П и R _О используются для выравнивания эквивалентных сопротивлений, подключенных к входам ОУ. Условие равенства удобнее выразить через суммы проводимостей, так как все резисторы включены параллельно.

Очевидно, что при выполнении этого условия выражение для U _вых упрощается:

Таким образом, U _вых можно выразить через входные напряжения и весовые коэффициенты:

Прецизионные дифференциальные усилители. Для высокоточного (прецизионного) преобразования сигналов необходимы усилители с высоким входным сопротивлением и большим коэффициентом подавления синфазного сигнала. Желательно также, чтобы погрешности преобразования потенциалов двух входов взаимно компенсировались. Простейший дифференциальный усилитель (см. рис. 1.7, в) такими свойствами не обладает. На рис. 1.10, а показана схема дифференциального усилителя с высоким входным сопротивлением по обоим входам. Для этого усилителя при условии R ₂/ R ₃ = R ₅/ R ₄ выходное напряжение определяется выражением

(1.8)

В частном случае при R ₂ = R ₃ = R ₄ = R ₅ выражение (1.8) принимает более простой вид: U _вых = 2(U ₁ – U ₂)(1+ R ₂/ R ₁). Особенностью данного усилителя является возможность регулировки коэффициента усиления разностного сигнала с помощью одного резистора R1. При отсутствии необходимости регулирования можно изъять R1 из схемы (R ₁ = ¥), тогда U _вых = 2(U ₁ – U ₂).

Дифференциальный усилитель на трех ОУ (рис. 1.10, б) обеспечивает более высокий коэффициент подавления синфазного сигнала. Резисторы, входящие в этот усилитель, должны удовлетворять соотношению R ₆/ R ₅ = R ₇/ R ₄. Тогда выходное напряжение

Устройства на базе ОУ с частотно-зависимыми цепями. До сих пор мы рассматривали устройства, содержащие помимо ОУ только активные сопротивления. Анализ устройств, содержащих индуктивности и емкости, проводится по рассмотренной ранее методике, с использованием принципа виртуального нуля и первого закона Кирхгофа, только взамен активных сопротивлений используются операторные сопротивления элементов. В результате получаем передаточную функцию устройства W (p) = U _вых(p)/ U _вх(p).

При анализе сложных схем выгодно выделять участки цепи, которые можно заменить пассивным двухполюсником. Так, например, большое число практических схем можно свести к структуре, показанной на рис. 1.11. Здесь в качестве элементов цепи использованы произвольные пассивные двухполюсники с операторными сопротивлениями Z 1(p)… Z 4(p).

Очевидна аналогия с рис. 1.7, в. Используя (1.6), можно сразу записать:

Интегрирующие и дифференцирующие устройства широко применяютсяв устройствах обработки сигналов, при построении регуляторов автоматических систем, для получения колебаний специальной формы. Простейшие из таких устройств приведены на рис. 1.12.

Возможен двоякий подход к анализу подобных устройств: он может быть основан на физических свойствах электрической емкости, либо на использовании передаточных функций.

В первом подходе используется известное соотношение или Тогда для схемы рис. 1.12, а, учитывая, что потенциал инвертирующего входа равен нулю, можно записать:

Аналогично для схемы рис. 1.12,б, учитывая, что u _C = U _вх,

Во втором подходе используется аналогия со структурой рис. 1.7, а. В формулу (1.4) подставляется операторное сопротивление емкости 1/ pC. Для схемы рис. 1.12, а получаем: для схемы рис. 1.12, б

Приведенные соотношения имеют место для идеального ОУ. Напряжение смещения и входные токи реальных ОУ оказывают заметное влияние на процесс интегрирования.

На рис. 1.13 приведена схема для расчета погрешности интегрирования, вызванной неидеальностью ОУ. Так как в линейных схемах действует принцип суперпозиции, погрешность рассматривается в отсутствие входного сигнала. Напряжения и токи в схеме рис. 1.13 связаны следующими очевидными соотношениями:
U 1 = U 2 + U см;	U 2 = I 2 R 2;	I R1 = U 1/ R 1;	I C = I R1 – I 1.

Тогда выходное напряжение интегратора в отсутствие входного сигнала изменяется по закону

Таким образом, напряжение ошибки изменяется с течением времени по линейному закону. В случае длительного интегрирования или в режиме длительного ожидания ошибка может стать сравнимой с величиной полезного сигнала и привести к насыщению ОУ.

Для уменьшения погрешности интегрирования необходимо выбирать ОУ с малым напряжением смещения и обеспечивать выполнение условия R ₁ = R ₂. Перед началом интегрирования (или в течение всего интервала времени, в котором логикой работы схемы не предусмотрено выполнение операции интегрирования) необходимо выполнять сброс интегратора путем разряда конденсатора с помощью транзисторного ключа (рис. 1.14, а).

В технике преобразования сигналов находят применение неинвертирующие интеграторы с "заземленным" конденсатором. В этом случае возможно использовать простые разрядные ключи на биполярных транзисторах, а также коммутировать конденсаторы при необходимости изменения постоянной времени интегрирования.

Общая схема неинвертирующего интегратора приведена на рис. 1.14, б. Здесь в качестве активного элемента использован не ОУ, а усилитель с конечным коэффициентом усиления К и с бесконечным входным сопротивлением. Такой усилитель может быть выполнен, например, по схеме рис. 1.7, б. При выводе передаточной функции принцип мнимой земли неприменим из-за конечной величины К, поэтому рекомендуется использовать уравнения по первому закону Кирхгофа с добавлением уравнения усилителя U _вых = KU _вх. Передаточная функция схемы имеет вид:

(1.9)

При выполнении условия

выражение (1.9) представляет собой передаточную функцию интегратора. Удаляя или закорачивая различные резисторы в схеме рис. 1.14, б, можно получить множество разновидностей интеграторов. Наиболее компактный вариант (рис. 1.14, в) при условии R ₁ = R ₂ и К = 2 имеет передаточную функцию W (p) = 2 /(pCR ₁).

Применение дифференцирующих устройств также требует учета реальных характеристик сигналов и ОУ. Идеальное дифференцирующее звено (рис. 1.12, б) характеризуется тем, что при неограниченном увеличении частоты входного сигнала коэффициент усиления стремится к бесконечности, а входное сопротивление – к нулю. На практике коэффициент усиления ОУ ограничен и дополнительно падает на высоких частотах из-за ограниченной полосы пропускания. К тому же на высоких частотах каскады ОУ дают значительный фазовый сдвиг, который может привести к самовозбуждению звена. Входное сопротивление звена Z _вх(p) = 1/ pC с увеличением частоты стремится к нулю, т.е. шунтирует источник входного сигнала, что приводит к его искажению.

Кроме того, реальный входной сигнал, как правило, представляет собой смесь полезного сигнала с шумом, к которому добавляется собственный шум ОУ. Большое усиление высокочастотных составляющих результирующего шума может привести к искажению продифференцированного сигнала.

Для устранения указанных отрицательных эффектов в дифференцирующее звено вводят дополнительные элементы, корректирующие его частотные свойства (рис. 1.15, а). При этом передаточная функция принимает вид:

Как видно из выражения для передаточной функции, введение каждого дополнительного элемента эквивалентно включению последовательно с дифференцирующим звеном апериодического звена первого порядка. На логарифмической амплитудно-частотной характеристике звена (рис. 1.15, б) появляются две сопрягающие частоты: ω₁ = 1/(C ₁ R ₁) и ω₂ = 1/(C ₂ R ₂). При ω < ω₁ (условно принято, что ω₁ < ω₂) звено ведет себя подобно идеальному дифференцирующему.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор. Для реализации пропорционально-интегрально-дифференциального закона в системах автоматического регулирования могут быть использованы звенья, показанные на рис. 1.16.

Передаточная функция регулятора по схеме рис. 1.16, а имеет вид:

Если исключить C 1, звено реализует пропорционально-интегральный закон регулирования, если закоротить C 2 – пропорционально-дифференциальный закон.

Передаточная функция регулятора по схеме рис. 1.16, б имеет вид:

Управляемые источники сигналов. Многие активные схемы можно рассматривать как управляемые источники напряжения или тока. Так как управляющий сигнал также может быть представлен током или напряжением, можно выделить четыре типа управляемых источников:

─ источники напряжения, управляемые напряжением;

─ источники напряжения, управляемые током;

─ источники тока, управляемые напряжением;

─ источники тока, управляемые током.

Источники напряжения, управляемые напряжением, по существу являются усилителями напряжения. Множество рассмотренных выше схем (например, рис. 1.6, 1.10, 1.16) принадлежат именно этому типу.

Источники напряжения, управляемые током, называются также преобразователями тока в напряжение. Основная область применения таких устройств – обработка сигналов датчиков с токовым выходом. Сюда относятся, например, широко распространенные в судовых системах управления трансформаторы тока и датчики со стандартным токовым выходом (0–5 мА, 4–20 мА и т.п.).

В простейшей схеме преобразователя тока в напряжение (рис. 1.17, а) весь входной ток I протекает по сопротивлению R, поэтому U = – IR. Так как потенциал инвертирующего входа ОУ равен нулю, то и входное сопротивление преобразователя равно нулю, что создает наиболее благоприятные условия для источника входного сигнала.

В другой распространенной схеме (рис. 1.17, б) входной ток I создает на сопротивлении R1 падение напряжения IR ₁, которое усиливается дифференциальным усилителем с установленными соотношениями сопротивлений резисторов R ₂ = R ₃, R ₄ = R ₅. Выходное напряжение U = – IR ₁ R ₅/ R ₂. Для обеспечения малой погрешности преобразования необходимо выполнить условие R ₁ << (R ₂ + R ₃).

Источники тока, управляемые напряжением, называемые также преобразователями напряжения в ток, применяются для формирования сигнала в датчиках с токовым выходом, а также при необходимости осуществить управляемый заряд конденсатора (например, в регулируемых генераторах пилообразного напряжения). В роли простейшего преобразователя напряжения в ток может использоваться обычный усилитель на ОУ (как инвертирующий, так и неинвертирующий), в котором нагрузка R _н включена в цепь обратной связи. На схемах рис. 1.18, а, б ток нагрузки I _н = I = U / R. Недостатком обеих схем является то, что нагрузка не может быть заземлена, и, следовательно, в роли таковой может быть только пассивный двухполюсник.

Схема рис. 1.18, в обеспечивает отдачу тока в заземленную нагрузку. Анализ выходного напряжения дает:

Отсюда видно, что при выполнении условия

(1.10)

выражение для выходного напряжения принимает вид:

(1.11)

Тогда Видно, что ток нагрузки пропорционален входному напряжению. А так как I _н не зависит от R _н, то схема представляет собой весьма близкий к идеальному управляемый источник тока.

Для выполнения условия (1.10) практически удобно выбрать R ₁ = R ₂ и R ₃ = R ₄.

Если требуемый ток нагрузки превышает возможности ОУ, может использоваться преобразователь напряжения в ток с выходным транзистором и обратной связью по току (рис. 1.19).

Величина тока нагрузки определяется тем, что ОУ согласно принципу виртуального нуля поддерживает напряжение на резисторе R напряжение, равное U, тогда ток через резистор R равен U / R. В схеме с биполярным транзистором (рис. 1.19, а) выходной ток I _н = (U / R)[1-(1/ h _21э)]; здесь учтено, что эмиттерный ток представляет собой сумму тока I _н и тока базы. Величина h _21э зависит от напряжения коллектор-эмиттер транзистора и от температуры, что приводит к нестабильности и нелинейности характеристики преобразователя. В схеме с полевым транзистором (рис. 1.19, б) выходной ток I _н = U / R. Схема рис. 1.19, в используется для мощных нагрузок.

Оригинальную идею демонстрирует схема источника тока с "плавающим" питанием ОУ (рис. 1.20). Такое питание возможно от аккумуляторной батареи или от отдельных обмоток трансформатора. Аналогичная ситуация возникает, если источник сигнала U и нагрузка имеют общую точку и изолированы

от земли. Ток источников питания не имеет другого пути, кроме как последовательно через сопротивления R _н и R, поэтому I _н = I _R. Но в соответствии с принципом виртуального нуля U = I _R· R. Тогда I _н = U / R. Благодаря изолированному питанию схема работоспособна в очень большом диапазоне изменения входного напряжения.

Источники тока, управляемые током, могут быть выполнены в виде последовательного соединения преобразователя тока в напряжение и напряжения в ток (рис. 1.21). Результирующий коэффициент передачи тока K _I = I _н / I _вх= R ₁/ R ₂. Величина R ₁ должна быть достаточно мала, чтобы обеспечить режим источника тока I _вх, близкий к режиму короткого замыкания. На практике потребность в таком преобразовании встречается довольно редко.

Активные фильтры

Фильтр – это частотно-избирательное устройство, предназначенное для того, чтобы сигналы определенных частот пропускать с возможно меньшими искажениями, а сигналы других частот ослаблять возможно сильнее. Наиболее полно свойства фильтров описываются передаточной функцией W (p). Для синусоидального сигнала принимают p = j ω, при этом передаточная функция превращается в комплексный коэффициент передачи (называемый иногда частотной передаточной функцией)

где K (ω) = | W (jω)| – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) звена; φ (ω) – фазо­частотная характеристика (ФЧХ).

АЧХ для данной частоты равна отношению амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного, ФЧХ определяет фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному. АЧХ является определяющей для классификации и расчета фильтров. ФЧХ учитывается, как правило, только при необходимости определить вносимые фильтром искажения формы сигналов со сложным спектром.

Диапазоны частот, в которых сигналы проходят практически без ослабления, называются полосами пропускания, в них АЧХ имеет в идеале постоянное значение. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, называются полосами задерживания, в них значение АЧХ в идеале равно нулю. В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания различают четыре типа фильтров: фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и режекторный фильтр (РФ). Иногда полосовой фильтр называют полосно-пропускающим, а режекторный – полосно-заграждающим.

АЧХ идеальных фильтров указанных типов показаны на рис. 1.22. Граничная частота ω _с между полосами называется частотой среза.

На практике реализовать идеальную АЧХ невозможно. Требования к АЧХ реального фильтра обычно задаются графиком допусков. Пример графика допусков для ФНЧ показан на рис. 1.23. В полосе пропускания (0 < ω < ω_с) АЧХ может произвольным образом располагаться между уровнями К и К ₁. В полосе задерживания (ω > ω₁) необходимо обеспечить К (ω) < К ₂. В переходной области (ω_с < ω < ω₁) поведение АЧХ не контролируется.

Для анализа общих свойств фильтров удобно нормировать АЧХ по обеим осям: по оси абсцисс откладывают относительную частоту Ω = ω/ωс, по оси ординат – отношение К (ω)/ К макс, или К (ω)/ К (ωс), или (для ФНЧ) К(ω)/К(0). При этом расчеты становятся независимыми от частоты среза и от коэффициента усиления в полосе пропускания.

В качестве характеристики фильтров часто используется максимальное затухание в полосе пропускания a₁ и минимальное затухание в полосе задерживания a₂, выраженные в децибелах:

При построении фильтров возможны два подхода.

Первый подход предусматривает использование пассивных LC -цепей. Классическая теория LC -фильтров изучается в курсе ТОЭ. Подобные фильтры используются в радиотехнике и технике связи на высоких частотах (сотни кГц и выше). В этом диапазоне катушки индуктивности имеют малые габариты и высокую добротность. Однако в устройствах промышленной автоматики используются преимущественно низкочастотные диапазоны (десятки кГц и ниже), в которых катушки индуктивности неэффективны. Кроме того, моточные изделия плохо совмещаются с интегральной технологией.

Второй подход базируется на применении активных RC -фильтров – устройств, выполненных на широкополосных усилительных элементах сочетании с пассивными RC -цепями. В низкочастотном диапазоне наиболее часто в качестве активного элемента используется ОУ. Этот подход наиболее характерен для современных систем управления, измерения и контроля; именно он рассматривается в настоящем учебном пособии.

Построение фильтра состоит из двух этапов: 1) аппроксимация; 2) реализация.

Аппроксимация в общем смысле – это замена одних математических объектов другими, достаточно близкими к исходным и в то же время более простыми и удобными. Применительно к активным фильтрам аппроксимация заключается в выборе реальной АЧХ, обеспечивающей выполнение требований графика допусков. Увеличивая порядок передаточной функции, можно неограниченно приближаться к идеальной АЧХ, однако при этом возрастает сложность схемы, затрудняется настройка и увеличивается время переходного процесса. Таким образом, задача аппроксимации – выполнить требования к АЧХ при минимально возможном порядке n передаточной функции. Первым шагом аппроксимации является выбор типа АЧХ, затем производится расчет n, далее – определение коэффициентов передаточной функции. Процесс аппроксимации унифицирован, выполняется по единой методике для всех типов фильтров и основан на использовании какой-либо из известных аппроксимирующих функций.

Реализация – это выбор реализующей схемы и расчет параметров ее элементов. При реализации на первый план выходят вопросы сложности схемы, удобства настройки, чувствительности АЧХ к разбросу параметров элементов и к их дрейфу.

Аппроксимация АЧХ. Наиболее распространены фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические. Название фильтра определяется выбранной аппроксимирующей функцией.

Рассмотрим аппроксимацию для фильтра нижних частот. Как будет показано ниже, аппроксимация других типов фильтров также сводится к выбору АЧХ для ФНЧ с последующим преобразованием частоты.

Наиболее просты и удобны в настройке полиномиальные ФНЧ, у которых передаточная функция содержит в числителе константу, а в знаменателе – полином:

(1.12)

Здесь подразумевается, что аргумент p нормирован к частоте среза, т.е. p = j W.

Фильтры Баттерворта и Чебышева являются полиномиальными.

Фильтр Баттерворта имеет наиболее простое выражение для АЧХ:

(1.13)

где n = 1, 2, 3,… – порядок фильтра.

АЧХ вида (1.13) обеспечивается, если в знаменателе передаточной функции (1.12) стоит полином Баттерворта (табл. 1.2).

Таблица 1.2

n	Полином Баттерворта

Коэффициенты полиномов Баттерворта могут быть найдены следующим образом. В формуле (1.12) выполняется замена p = j W, затем записывается выражение для | W (j W)|, в котором под знаком радикала в знаменателе слагаемые сгруппированы по степеням W. Далее составляется система уравнений путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях W в полученном выражении и в (1.13). Решая эту систему, находим коэффициенты полинома Баттерворта.

На практике фильтры высоких порядков выполняют последовательным соединением звеньев не выше второго порядка. Математически это обосновывается тем, что полином любой степени может быть разложен на сомножители не выше второй степени. Таким образом, передаточная функция (1.12) может быть записана для четных n в виде

(1.14)

и для нечетных n в виде

(1.15)

Для фильтров Баттерворта

(1.16)

При проектировании фильтров нет необходимости рассчитывать коэффициенты передаточной функции по формуле (1.16). В технической литературе, например, /2, 4, 8/, приводятся таблицы значений b_k и c_k для всех распространенных видов аппроксимации при различных значениях n.

Отличительной особенностью фильтров Баттерворта является монотонность АЧХ. Это нетрудно увидеть из выражения (1.13), найдя dK / dω. Кроме того, АЧХ (1.13) наиболее плоская вблизи ω = 0 по сравнению с любым другим полиномиальным фильтром того же порядка. Поэтому фильтр Баттерворта называют также фильтром с максимально плоской АЧХ.

АЧХ ФНЧ Баттерворта для некоторых значений n показаны на рис. 1.24. Видно, что с увеличением n АЧХ стремится к идеальной характеристике и вблизи ω = 0 аппроксимирует ее наилучшим образом. Однако в отношении ширины переходной области фильтр Баттерворта уступает другим фильтрам, рассмотренным ниже.

Минимальное значение АЧХ фильтра Баттерворта в полосе пропускания К 1 = и не зависит от n. Таким образом, для всех фильтров Баттерворта дБ. Фильтр Чебышева оптимален среди всех полиномиальных фильтров в том смысле, что при заданных К, К 1, К 2 и ωс (см. рис. 1.23) он имеет минимальную ширину переходной области.

АЧХ фильтра Чебышева имеет вид:

(1.17)

где n = 1, 2, 3,… – порядок фильтра, параметр e определяет неравномерность АЧХ в полосе пропускания, а С_n – полином Чебышева первого рода степени n:

В табл. 1.3 приведены несколько первых полиномов Чебышева.

Таблица 1.3

n	Полином Чебышева

Полиномы Чебышева обладают следующими очевидными свойствами: С_n (0) = 0 для нечетных n; С_n (0) = 1 для четных n; С_n (1) = 1 для любых n.

Отсюда, используя формулу (1.17), легко определить свойства АЧХ фильтра Чебышева: К (0) = 1 для нечетных n; К (0) = для четных n; К (1) = для любых n.

Примеры АЧХ ФНЧ Чебышева показаны на рис. 1.25.

Кривая K (ω) содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания, причем все пульсации равны по величине. Поэтому фильтр Чебышева называют также равноволновым фильтром. Размах пульсаций определяется величиной e, а их число зависит от n. Максимальное затухание в полосе пропускания

Кривые АЧХ, показанные на рис. 1.25, рассчитаны при a ₁ = 2 дБ, что соответствует величине К ₁ = = 0,794.

Инверсный фильтр Чебышева имеет АЧХ, описываемую выражением

Кривая АЧХ монотонна в полосе пропускания (причем К ₁ = , как у фильтров Баттерворта) и равномерно колеблется в полосе задерживания между уровнями 0 и К ₂ =

Эллиптический фильтр обладает пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Он является лучшим среди всех ФНЧ в том смысле, что для заданного порядка и допустимых отклонений АЧХ в полосах пропускания и задерживания имеет самую узкую ширину переходной области.

Передаточная функция инверсного фильтра Чебышева и эллиптического фильтра описывается одинаковым выражением. Например, для четного порядка

Поскольку числитель передаточной функции зависит от р, такие фильтры более сложны в реализации, поэтому более детально не рассматриваются.

Выбор минимального порядка – одна из основных задач при построении фильтра. Для ее решения должны быть заданы параметры графика допусков: затухания a₁ и a₂, частота среза ω_с и верхняя граница переходной области ω₁.

Для фильтра Баттерворта, имеющего a₁ = 3 дБ, минимальный порядок можно найти, если подставить в (1.13) ω = ω₁, выразить K ₂ = К (ω₁) через a₂ и разрешить относительно n. В результате получаем:

(1.18)

 

где логарифм может быть по любому основанию.

Полученный результат округляют до ближайшего большего целого.

Подобным же образом из (1.17) можно найти минимальный порядок фильтра Чебышева:

 

(1.19)

 

 

Сравним различные фильтры с точки зрения минимального порядка. Пусть заданы a₁ = 3 дБ, a₂ = 20 дБ, ω₁/ω_с = 1,3. Расчет по (1.18 и 1.19) дает: для фильтра Баттерворта n = 8,76; для фильтра Чебышева n = 3,95. После округления получаем соответственно 9 и 4. Этот пример наглядно показывает преимущество фильтра Чебышева.

Реализация АЧХ. Существует множество различных схем ФНЧ. Простейшая схема ФНЧ первого порядка – это пассивная RC -цепь (рис. 1.26, а) с передаточной функцией и АЧХ Как видно из выражения для АЧХ, это фильтр Баттерворта с частотой среза ω_с = 1/(RC). Недостаток такого фильтра – слишком пологий ход АЧХ в переходной области, поэтому его применяют либо при отсутствии жестких требований к ширине переходной области, либо как дополнительное звено фильтра нечетного порядка. Однако такое звено имеет значительное и к тому же комплексное выходное сопротивление, поэтому подключение нагрузки к его выходу меняет АЧХ звена. Для развязки может быть использован буферный повторитель на операционном усилителе (рис. 1.26, б). Но если в схеме фильтра появляется дополнительный каскад с ОУ, выгоднее выполнить этот каскад в виде

схемы второго порядка, что позволит, увеличив затухание в полосе задерживания, расширить полосу пропускания и тем самым уменьшить запаздывание прохождения сигнала в фильтре. Вообще говоря, четный порядок всегда обеспечивает меньшее запаздывание при равном затухании.

На рис. 1.27 приведены две наиболее распространенные схемы ФНЧ второго порядка на ОУ: схема с многопетлевой обратной связью, называемая также структурой Рауха (рис. 1.27, а), и схема на неинвертирующем усилителе, или структура Саллена-Ки (рис. 1.27, б).

Обратите внимание, что в схеме рис. 1.27, б в качестве активного элемента использован усилитель с конечным коэффициентом усиления К ₀ и с бесконечным входным сопротивлением. Использование такого усилителя уже описано выше (см. рис. 1.14, б, в). Возможно также применение эмиттерного повторителя на транзисторе с большим коэффициентом усиления по току, тогда К ₀» 1.

Передаточная функция ФНЧ по рис. 1.27, а

(1.20)

Коэффициент (– R ₂/ R ₁) определяет масштаб, а частотные свойства определяются последующей дробью. Коэффициент при р ² влияет в первую очередь на частоту среза, а коэффициент при р – на колебательность звена.

Передаточная функция ФНЧ по рис. 1.27, б

Изменение К ₀ в этой схеме влияет в первую очередь на добротность. При увеличении К ₀ колебательность звена возрастает вплоть до появления самовозбуждения. Условием устойчивой работы является положительный коэффициент при р. Иначе говоря, необходимо обеспечить

Проектирование ФНЧ высокого порядка. Рассмотрим процедуру проектирования на конкретном примере. Пусть необходим ФНЧ с неравномерностью АЧХ 3 дБ в полосе пропускания от 0 до 3,4 кГц и затуханием не менее 20 дБ начиная с частоты 4,5 кГц.

Определим порядок фильтра n. Подставляем в (1.19) исходные данные: a₁ = 3; a₂ = 20; ω₁/ω_с = 4,5/3,4. При расчете n удобно пользоваться тождеством Получаем значение n = 3,81. Округляя, принимаем n = 4.

Далее определяем из справочных таблиц /4/ или /8/ коэффициенты передаточной функции. При этом считается, что передаточная функция представлена в виде

(1.21)

Выражение (1.21) совпадает с (1.14), если отказаться от нормирования р. Такое представление позволяет задавать безразмерные коэффициенты b_k и c_k, не зависящие от частоты среза, и удобно для сравнения с передаточными функциями конкретных схем, подобными (1.20). Для n = 4 и a₁ = 3 дБ

b ₁= 0,1703; c ₁ = 0,9031; b ₂ = 0,4112; c ₂ = 0,196.

Пусть для реализации выбрано последовательное соединение двух звеньев второго порядка по рис. 1.27, а. Из сравнения (1.20) и (1.21) видно, что

Этим уравнениям удовлетворяют различные сочетания параметров элементов. Необходимо выбирать сопротивления резисторов, придерживаясь "золотой середины": слишком малые значения нагружают источник входного сигнала и усилитель, слишком большие приводят к тому, что рабочие токи элементов становятся сравнимыми с токами утечки и с входными токами ОУ. Кроме того, требуется обеспечить заданное усиление в полосе пропускания.

В /8/ изложены подробные рекомендации по расчету элементов в зависимости от выбранной реализующей схемы. Рекомендуется начать с определения емкости С ₁, выбрав ее примерно равной 10/ f _c (мкФ). Чем выше порядок фильтра, тем точнее должны выдерживаться расчетные значения. Поэтому, как правило, используются прецизионные резисторы и конденсаторы.

Фильтры верхних частот. АЧХ ФВЧ расположена зеркально по отношению к АЧХ ФНЧ (рис. 1.28). Эту зеркальность следует понимать в геометрическом смысле (арифметический смысл она принимает при логарифмической шкале оси частот). Математически это выражается при помощи преобразования частоты: подставив в

передаточную функцию ФНЧ вместо р выражение получают передаточную функцию ФВЧ: Порядок проектирования ФВЧ следующий. По заданным значениям a1, a2 и ωс/ω1 определяют порядок и табличные коэффициенты передаточной функции фильтра нижних частот, который

называется НЧ-прототипом. Затем с помощью преобразования частоты получают передаточную функцию проектируемого ФВЧ. Далее переходят к реализации.

ФВЧ Баттерворта или Чебышева второго порядка, так же как и НЧ-прототип, можно реализовать при помощи схемы с многопетлевой обратной связью (рис. 1.29, а) или схемы на неинвертирующем усилителе (рис. 1.29, б).

Передаточная функция фильтра по схеме рис. 1.29, а

Передаточная функция фильтра по схеме рис. 1.29, б

Обратите внимание, что ФВЧ получен из ФНЧ заменой резисторов на конденсаторы и обратно.

Полосовые фильтры обычно имеют относительно узкую полосу пропускания (рис. 1.30). Мерой избирательности ПФ является отношение

называемое добротностью фильтра. Две частоты среза связаны между собой соотношением, следующим из геометрической симметрии: ωнωв = (ω 0)2. Аналогичным свойством обладает пара частот ω 1 и ω 2.

Если сместить начало координат по оси ω в точку ω₀, то мы увидим две зеркально расположенные АЧХ ФНЧ. На этом основано преобразование частоты. Для ПФ, как и для ФВЧ, вначале выполняется проектирование НЧ-прототипа. Порядок определения передаточной функции ПФ следующий:

1. Принимают для НЧ-прототипа те же значения α₁ и α₂, что и для ПФ.

2. Определяют нормированное значение частоты среза НЧ-прототипа:

3. Подставляя значение Ω₁ в (1.18) или (1.19), находят порядок НЧ-прототипа.

4. Определяют из таблиц коэффициенты передаточной функции НЧ-прототипа.

5. Выполняют преобразование частоты, заменив в передаточной функции НЧ-прототипа вида (1.21) ω _с на ω ₀ и подставив вместо р выражение

При этом порядок фильтра удваивается. Поэтому порядок ПФ всегда четный.

Простейший ПФ получают из ФНЧ первого порядка с передаточной функцией

(1.22)

Применив к (1.22) преобразование частоты, получаем:

(1.23)

Здесь нет коэффициентов, взятых из таблиц, так как ПФ второго порядка может быть (как и его НЧ-прототип) только одного типа: это фильтр Баттерворта. Для фильтров более высоких порядков возможно использовать все рассмотренные ранее аппроксимации.

Если НЧ-прототип имеет второй или более высокий порядок с передаточной функцией вида (1.21), то каждое звено второго порядка дает передаточную функцию

Для реализации необходимо эту передаточную функцию представить в виде произведения двух передаточных функций второго порядка. Это можно сделать в общем виде, так как уравнения четвертой степени разрешимы в радикалах. Решение может быть взято из /8/. Однако практичнее разложение на множители провести путем численного нахождения корней знаменателя р ₁… р ₄, например, в программе Mathcad, с последующим представлением:

р ₄ + a ₁ p ₃ + a ₂ p ₂ + a ₃ p + a ₄ = (p – p ₁) (p – p ₂) (p – p ₂) (p – p ₂).

Реализация ПФ на ОУ выполняется чаще всего на базе уже рассмотренных структур: с многопетлевой обратной связью (рис. 1.31, а) или на неинвертирующем усилителе с конечным коэффициентом усиления (рис. 1.31, б).

Передаточная функция фильтра по схеме рис. 1.31, а

(1.24)

Из сравнения (1.23) и (1.24) видно, что

Рекомендуется для упрощения брать С ₁ = С ₂ = С. Тогда

Передаточная функция фильтра по схеме рис. 1.31, б

Здесь также рекомендуется для упрощения принять С ₁ = С ₂ = С.

Режекторные фильтры подавляют сигналы в относительно узкой полосе частот. Их АЧХ (рис. 1.32) имеет полосу задерживания ω₁ ≤ ω ≤ ω₂ и две полосы пропускания: 0 ≤ ω ≤ ω_н и ω ≥ ω_в. Так же, как и в ПФ, избирательность РФ характеризуется добротностью Q = ω ₀/Δ ω = ω ₀/(ω _в – ω _н).

Связь между ω₀, ω_н, ω_в и Q определяется теми же формулами, что и для ПФ.

Передаточную функцию РФ получают преобразованием частоты: в передаточной функции НЧ-прототипа производят замену р на При этом порядок фильтра, как и в случае ПФ, удваивается.

Применяя преобразование частоты к передаточной функции ФНЧ первого порядка (1.22), получаем:

Отсюда видно, что

Реализация РФ возможна при помощи пассивных RC -цепей (рис. 1.33). Отметим прежде всего цепь с замечательными свойствами – так называемый двойной Т-мост (рис. 1.33, а). Его передаточная функция

(1.25)

Числитель передаточной функции (1.25) обеспечивает нулевой коэффициент передачи на частоте ω₀ = 1/(СR). Условием полной режекции является точное выполнение указанных на схеме соотношений параметров элементов.

Второй вариант пассивного РФ – мост Вина-Робинсона (рис. 1.33, б). Коэффициент передачи делителя правого плеча моста равен 1/3. Коэффициент передачи левого плеча комплексный, но на частоте ω₀ = 1/(СR) он становится действительным числом и тоже равен 1/3. Таким образом, на частоте ω₀ выходной сигнал равен нулю. Передаточная функция имеет вид:

Недостатком моста Вина-Робинсона является дифференциальный выход, что требует включения последующего дифференциального усилителя.

Добротность обеих схем, определяемая коэффициентом при p в знаменателе, принципиально низкая. Для повышения добротности их применяют в сочетании с ОУ. На рис. 1.34 показан пример РФ на базе 2Т-моста и усилителя с ограниченным коэффициентом усиления. Его передаточная функция

При К 0 → 2 добротность неограниченно возрастает, однако при этом появляется существенная неравномерность АЧХ в полосе пропускания, и возникает опасность потери устойчивости, если из-за дрейфа параметров окажется К 0 > 2.

 

Усилители мощности

 

Общие сведения. Усилители мощности предназначены для обеспечения заданной мощности Р _нв нагрузке при заданном сопротивлении нагрузки R _н. Усиление по напряжению здесь является второстепенным фактором. Часто усиление по напряжению мощных каскадов близко к единице, поэтому усиление по мощности определяется в основном коэффициентом усиления по току. Выходное напряжение и выходной ток должны принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Усилитель мощности, будучи выходным каскадом устройства, как правило, потребляет основную долю мощности, расходуемой устройством, и занимает значительную часть объема. Поэтому важнейшим требованием к усилителю мощности является высокий КПД. Повышение КПД весьма благоприятно сказывается на габаритных размерах и весе усилителя, которые определяются главным образом габаритными размерами и весом охладителей.

Другим важным требованием является минимальный уровень искажений. Транзисторы усилителей мощности работают в режиме большого сигнала, когда амплитуды переменных составляющих токов и напряжений достаточно велики. При этом заметно проявляются нелинейные свойства транзисторов, и возникают нелинейные искажения входного сигнала.

Указанные два требования конфликтуют: во многих случаях уменьшение искажений достигается ценой ухудшения КПД.

Однотактные усилители мощности строятся на усилительных элементах, проводящих ток в течение всего периода входного сигнала. Простейшим таким усилителем является эмиттерный повторитель (рис. 1.35). В случае двуполярного сигнала наибольшая трудность состоит в том, что при отрицательном выходном напряжении ток нагрузки ограничен величиной сопротивления R _э. Максимальное отрицательное напряжение на нагрузке образуется, когда ток транзистора равен нулю:

Если выходной сигнал представляет собой синусоидальное напряжение со средним значением, равным нулю, т. е. U н(t) = U m sinω t, то величина U m не может превышать модуля величины U н мин: (1.26) Рассчитаем распределение мощности в схеме при произвольной амплитуде синусоидального выходного сигнала и произвольном сопротивлении нагрузки.

Мощность, выделяемая в нагрузке,

(1.27)

Мощность, рассеиваемая на транзисторе,

Мощность, рассеиваемая на эмиттерном резисторе,

Схема потребляет от источника питания мощность

Как видно, потребляемая схемой мощность не зависит от величины входного сигнала и нагрузки (при условии, что транзистор остается в линейном режиме).

КПД усилителя

Отсюда видно, что максимальный КПД достигается при максимальной амплитуде сигнала:

Наивысший КПД достигается, если R _э = R _н; при этом условии

Таким образом, при максимальном КПД 1/16 всей мощности, потребляемой от источника питания, передается в нагрузку, 6/16 рассеивается на транзисторе и 9/16 – на эмиттерном резисторе.

Коэффициент усиления по мощности К _Р определим, считая в первом приближении, что коэффициент усиления по напряжению эмиттерного повторителя равен единице. Тогда входная мощность

Коэффициент усиления по мощности

В рассмотренной схеме усилителя транзистор в течение всего периода входного сигнала находится в активном режиме. Такой режим работы усилительного элемента называется режимом А. Он обеспечивает минимально возможный уровень нелинейных искажений. Соответственно усилитель с транзисторами, работающими в режима А, называют усилителем класса А.

Для того чтобы обеспечить требуемую амплитуду выходного напряжения, должен быть с учетом (1.26) произведен выбор напряжения питания усилителя U _п. Для согласования нагрузки с выходным каскадом могут применяться трансформаторы, которые обеспечивают получение максимального коэффициента усиления по мощности и устраняют необходимость привязки напряжения питания к диапазону изменения выходного напряжения. Однако трансформатор является сравнительно дорогим и сложным в изготовлении устройством, ухудшает массогабаритные показатели и частотные характеристики усилителя.

Рассмотрим трансформаторный усилитель мощности, в котором транзистор включен по схеме с общим эмиттером (рис. 1.36, а). Трансформатор T1 предназначен для согласования входного сопротивления усилителя с сопротивлением источника входного сигнала, трансформатор Т2 – для согласования нагрузки и выходного сопротивления усилителя. Элементы R _би VD обеспечивают начальный режим работы транзистора.

При синусоидальном сигнале выходная мощность, приведенная к первичной обмотке трансформатора Т2,

(1.28)

где U _кm и I _кm – амплитудные значения переменных составляющих напряжения на коллекторе и тока коллектора; – приведенное к первичной обмотке трансформатора Т2 сопротивление нагрузки.

Мощность в нагрузке

где η_тр – КПД трансформатора Т2. Обычно η_тр = 0,75…0,95.

Определим коэффициент усиления по мощности. Входная мощность каскада без учета потерь в трансформаторе Т1

(1.29)

где R _вх – входное сопротивление транзисторного каскада с общим эмиттером.

Из (1.28) и (1.29) получаем:

Так как транзистор работает всегда в активном режиме, то мощность Р _п, потребляемая усилителем от источника питания, как и в схеме рис. 1.35, не зависит от входного сигнала:

где I _к0 – ток покоя транзистора.

Следовательно, КПД усилителя

Чтобы наиболее полно использовать транзистор, координаты точки покоя выбираются из условия получения максимальных амплитуд напряжения и тока коллектора, т.е. U _кm = U _п и I _кm = I _к0. Поэтому теоретически максимальный КПД равен 0,5. Основная причина повышения КПД по сравнению со схемой рис. 1.35 – исключение потерь на эмиттерном резисторе. Реальное значение КПД составляет 0,3 – 0,35.

Возможно построение трансформаторного усилителя мощности и с транзистором, включенным по схеме с общей базой (рис. 1.36, б). Такой каскад имеет значительно меньшую величину усиления по мощности, чем каскад с общим эмиттером. Преимуществами каскада с общей базой являются лучшая температурная стабильность и меньший уровень нелинейных искажений.

Двухтактные усилители мощности обеспечивают существенно более высокую мощность в нагрузке и больший КПД за счет того, что положительный и отрицательный полупериоды входного сигнала усиливаются разными транзисторами. Таким образом, каждый транзистор проводит ток в течение половины периода входного сигнала. Такой режим работы усилительного элемента называется режимом В. Двухтактные усилители мощности могут быть как бестрансформаторными, так и трансформаторными.

Бестрансформаторный двухтактный усилитель мощности класса В может быть выполнен по схеме комплементарного эмиттерного повторителя (рис. 1.37, а). При положительных входных сигналах транзистор VT1 работает как эмиттерный повторитель, а транзистор VT2 заперт; при отрицательных – наоборот. При U _вх = 0 оба транзистора заперты; следовательно, схема имеет малый ток покоя. Весь ток, потребляемый как от положительного, так и от отрицательного источника напряжения, проходит через нагрузку. Поэтому схема обладает существенно более высоким КПД по сравнению с обычным эмиттерным повторителем. Еще одно различие состоит в том, что выходное напряжение при любой нагрузке может практически достигать ± U _п, поскольку разность между входным и выходным напряжениями равна напряжению база-эмиттер открытого транзистора. Таким образом, максимальная мощность на выходе определяется лишь предельным током и максимальной рассеиваемой мощностью используемых транзисторов.

Коэффициент усиления по напряжению практически равен единице, коэффициент усиления по токуравен h _21э.

Мощность в нагрузке по-прежнему определяется выражением (1.27). Определим среднюю мощность, рассеиваемую на транзисторе в течение одного полупериода сигнала (в другом полупериоде та же мощность рассеется на другом транзисторе):

КПД усилителя

Здесь, как и в режиме A, КПД возрастает при увеличении амплитуды сигнала. Принимая в первом приближении максимальное значение U _m равным U _п, получаем теоретический предельный КПД:

Реальный КПД составляет 0,6 – 0,7.

Усилитель мощности класса В имеет два основных недостатка:

1. При частоте входного сигнала, превышающей граничную частоту используемых транзисторов, переход из открытого состояния в закрытое происходит с запаздыванием. Поэтому возникают интервалы времени, когда оба транзистора открыты одновременно. При этом возникает короткое замыкание источника питания, и через транзисторы протекает большой ток, который может привести к их разрушению. Для защиты транзисторов следует предусмотреть ограничение тока.

2. Из-за нелинейности входной характеристики транзистора в выходном напряжении появляются искажения типа "ступенька" (рис. 1.38), которые тем сильнее, чем меньше амплитуда сигнала. Для уменьшения искажений необходимо задать начальное отпирающее смещение на входах транзисторов. В результате у обоих транзисторов появляется небольшой то