Применение уравнения Бернулли к расчету движения газа по трубам

При транспортировке по трубам вязких газообразных жидкостей (газов, воздуха, перегретого пара и т.д.) скорость их движения не превышает 50 - 60 м/с, что значительно меньше скорости звука в них. Давление в начале подобных трубопроводов обычно составляет около 50 кгс/см²(атм.). Поэтому скорости движения, близкие к скорости звука, будут наблюдаться не на прямолинейных участках, а в отдельных зонах, в местах установки арматуры и т.д.

Рассмотрим установившееся движение вязкого газа в длинном трубопроводе. В рассматриваемом случае возникающие потери напора на трение по длине вызывают ряд характерных особенностей движения реального газа по сравнению с движением по трубам несжимаемых жидкостей.

Так, с ростом потерь напора на трение давление по длине трубы уменьшается, что ведет к расширению газа и уменьшению его объемного веса. Вместе с тем в условиях установившегося движения, когда весовой расход остается постоянным вдоль трубы, уменьшение объемного веса вызывает одновременное увеличение средней скорости течение по трубе. Изменяется вдоль трубы и коэффициент трения l. При наличии теплообмена будет иметь место и непрерывное изменение температуры газа по длине трубы.

Все это приводит к тому, что для газов нельзя применять формулу для определения потерь напора на трение по длине трубы, используемую для капельных жидкостей

(3 – 1)

где l - длина участка трубы;

d - диаметр трубы (внутренний);

v - средняя скорость движения воды в трубе.

Рассмотрим движение газов в трубах в условиях изоэнтропического и изотермического процессов, когда температура газа постоянна и теплообмен отсутствует. Это обстоятельство позволит считать величину коэффициента трения l постоянным по длине. (При T = const вязкость газа и число Рейнольдса Re будут постоянными по длине. Следовательно, будет постоянным по длине трубы).

В этих условиях эта формула может быть применена для бесконечно малых участков трубы. Она примет вид:

(3 – 2)

где: dh_f - потеря напора на трение на длине dl;

w - скорость потока на этом же участке.

Тогда уравнение Д.Бернулли для двух сечений потока, отстоящих друг от друга на бесконечно малое расстояние dl можно представить в таком виде:

Пренебрегая влиянием веса газа и изменением скоростей, последнее уравнение представим в виде:

(3 – 3)

Так как

где: w - площадь поперечного сечения трубы;

G - весовой расход газа,

последнее. выражение примет вид:

или (3 – 4)

При изотермическом процессе уравнение состояния имеет вид

откуда:

С учетом последнего равенства уравнение (3 – 4) примет окончательный вид

(3 – 5)

Интегрируя левую часть уравнения в пределах от p₁ до p₂, а правую – от 0 до L (L – длина трубы) получим:

(3 – 6)

Формула (3 – 6) является расчетной формулой для определения весового расхода газа G при заданных перепаде давления (p₁ – p₂) и диаметре трубопровода d. Это же уравнение используется и для определения диаметра трубы при заданных G и (p₁– p₂).

Коэффициент трения l зависит от режима движения газа и может определятся по формулам, полученным на основании обработки опытных данных по перекачке газов по трубам.

Для определения l в квадратичной области турбулентного режима для стальных трубопроводов используют формулу

(3 – 7)

где d - диаметр трубопровода в см.

Для определения l резиновых шлангов пользуются формулой

(3 – 8)

где d - в метрах.

При пользовании формулой (3 – 6) необходимо следить, чтобы все параметры подставлялись в одинаковой размерности. В технической системе единиц, мы будем использовать основные единицы измерения кгс, м, с, т.е. удельный вес g подставлять в кгс/м³, давление p – в кгс/м² и т.д., при этом весовой расход из формулы (3 – 6) получится в кгс/с.

Для определения весового расхода G преобразуем к виду:

(3 – 9)

Чтобы соблюсти единообразие формулу (3 – 7) приведем к виду

(3 –7а)

где d теперь надо подставлять в м.

Подставив выражения для коэффициента трения l из (3 – 7а) и (3 – 8) в формулу (3 – 9) и разрешив ее относительно диаметра трубы (шланга) d, получим формулы для определения требуемого диаметра при заданном весовом расходе воздуха G (и остальных исходных данных):

- для стальных труб

(3 – 10)

- для резиновых шлангов

(3 – 11)

Напомним, что ответ по формулам (3 – 10) и (3 – 11) получается в м.

Пример 1.

Определить массовый расход M и объемный расход Q¢ (при атмосферном давлении p¢ = 0,1014 МПа) воздуха по металлической трубе длиной L = 40 м и диаметром d = 25 мм при следующих исходных данных:

- абсолютное давление в начале трубы p₁ = 0,8 МПа;

_-абсолютное давление в конце трубы p₂ = 0,4 МПа;

_-температура воздуха T = 290 К.

Решение

Массовый расход воздуха

кг/с.