Общий анализ дифференциальных уравнений неравномерного движения в призматических руслах

При рассмотрении дифференциальных урав­нений (6.58), (6.62) расход Q следует принимать вели­чиной постоянной. Переменными являются расходная ха­рактеристика К и параметр кинетичности П_к, поскольку они зависят от характеристик поперечного сечения потока ω, χ, В, R, С, которые в связи с изменением глубины h при неравномерном движении изменяются по длине призмати­ческого русла. Очевидно, при некоторых значениях глу­бины h расходная характеристика К и параметр кинетич­ности П_К могут принимать такие значения, при которых числитель или знаменатель правой части этих уравнений будет стремиться и затем обратится в нуль.

Для русл с уклоном i₀>0 при равенстве нулю числите­ля уравнения (6.58) получаем

(6.63)

откуда

что соответствует постоянству глубины потока вдоль русла, т. е. равномерному движению (h=h₀). Последнее следует также непосредственно из выражения (6.63), которое пред­ставляет собой формулу Шези для равномерного движения. Получено, таким образом, подтверждение того, что равномерное движение возможно в приз­матическом русле при положительном уклоне дна i₀>0. Производная dh/dl =tg 0, где 0 - угол между касатель­ной к кривой свободной поверхности потока и линией N-N нормальной глубины или линией К-К критической глу­бины. Следовательно, если глубина неравномерного потока в канале с уклоном i₀>0 стремится к нормальной глубине h→h₀, то и dh/dl =tg 0→0, т. е. свободная поверхность асим­птотически стремится к линии N-N.

Для русл с горизонтальным дном равенство нулю чис­лителя уравнения (6.61) и, следовательно, производной (6.61) возможно либо при Q=0, либо при К=∞ (или h=∞). Оба условия не имеют смысла, поскольку перестает существовать движение жидкости.

При обратном уклонe дна равенство (6.64) может быть получено из уравнения (6.62), если

или

Поскольку отрицательный знак уклона дна русла учтен при выводе уравнения (6.62), в последнем выражении знак «-» относится к расходной характеристике К, что также лишено смысла.

Таким образом, получено подтверждение, что при укло­нах дна i₀=0 и i₀<0 равномерное движение в канале су­ществовать не может.

Знаменатель правой части уравнений (6.58)-(6.62) обращается в нуль, если h=h_K или П_к=1. Тогда

(6.65)

т. е. кривая свободной поверхности неравномерного потока пересекает линию К-К под углом 90°. При этом существенно увеличивается кривизна линий токов и поток ста­новится резко неравномерным.

Поэтому результат (6.65), полученный из уравнений (6.58)-(6.62), справедливых для плавноизменяющегося движения, не является строгим. В действительности линия К-К пересекается свободной поверхностью потока под углом, несколько меньшим, чем прямой. Если это пересечение происходит при уменьшении глубин от h₁>h_K до h₂<h_K, т. е. из области спокойного в область бурного состояния потока, то такой переход назы­вается водопадом, а в противном случае - гид­равлическим прыжком (см. рис. 6.20).

Рис. 6.20

Производная dh/ d l в уравнениях (6.58)-(6.62) может быть как положительной, так и отрицательной. Поскольку расстояние l измеряется вниз по течению (см. рис. 6.21), приращение расстояния d/ всегда положительно. Знак приращения глубины dh зависит от характера изменения глубины потока при неравномерном движении. Если по течению глубины потока возрастают (рис. 6.22, а), то приращение глубины dh=h₂ -h₁>0 и, следовательно, dh/d/>0: кривая свободной поверхности, глубины которого возрастают вниз по течению, называется кривой подпора. Если же глубины потока по течению уменьшаются (рис. 6.22, б), т. е. h₂<h₁, то dh=h₂- h₁<0 и dh/d <0: кривая свободной поверхности потока, глубины которого убывают вниз по течению, называется кривой спада.