Полное и частичное динамическое подобие. Критерии динамического подобия

 

Полное динамическое подобие. Закон ди­намического подобия Ньютона в коэффициентах подобия можно истолковать следующим образом. Частицы жидко­сти участвуют в движении под действием внешних массовых и поверхностных сил (сил тяжести, давления и трения), результирующая которых равна силе инерции. Масштаб сил инерции определяется законом динамического подобия Ньютона. Следовательно, масштабы всех иных сил, дей­ствующих на сходственные жидкие частицы и определяю­щих их движение, должен быть таким же.

Запишем закон динамического подобия Ньютона, вы­ражая масштабы через физические величины:

F_н/F_м = ρ_н l_н u_н/ (ρ_мl_мu_м).

Перенесем члены с одинаковыми индексами по разные стороны равенства:

F_н /(ρ_н l_н u_н) = F_м / (ρ_мl_мu_м)= Ne.

Это равенство является условием полного динамического подобия. Число Ne - называется критерием (числом) Ньютона полного ди­намического подобия.

Вообще критерием подобия называются безразмерные величины (числа), составленные из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление.

Следовательно, в сходственных точках динамически подобных потоков числа Ньютона должны быть одинаковы, т. е. Ne_M=Ne_H, или Ne=idem.

При определении сил, действую­щих на жидкие (натурную и модельную) частицы в сходст­венных точках необходимо учтывать силы тяжести G, давления Р, трения F_TP и их результирующая - сила инерции J. При полном динами­ческом подобии они должны находиться в соотношении:

G_н /G_м = F_Tpн/F_Tpм = P_н /P_м = J_н / J_м = m_F. (7.9)

Потоки динамически, кинематически и геометрически подобные, как указывалось, называются механически по­добными.

Частичное динамическое подобие. Перечисленные силы имеют различную физическую природу. Это обстоятельст­во затрудняет обеспечение полного динамического подобия натурного и модельного потоков и приводит на практике к его неосуществимости. К счастью, существует довольно значительный класс течений, которые вызываются дейст­вием на жидкость в основном какой-либо одной (преобла­дающей) силы. Для таких случаев можно получить крите­рий частичного динамического подобия, при котором учитывается действие преобладающей силы и силы инерции, а действием остальных сил пренеб­регают.

Пусть преобладающей является сила тяжести G. Считаем, что в этом случае силами давления Р и тре­ния F_Тр можно пренебречь. Тогда условие частичного дина­мического подобия сведется к равенству:

или . (7.10)

Но силы инерции согласно формуле (7.7) пропорцио­нальны плотности, квадратам характерной длины и харак­терной скорости, а силы тяжести пропорцио­нальны плотности и объему (или характерной длине в кубе).С учетом этих замечаний получим:

откуда

(7.11)

Полученный безразмерный параметр, пропорциональ­ный отношению сил инерции к силам тяжести, называется критерием или числом Фруда.

Таким образом, для обеспечения частичного динамичес­кого подобия при преобладающем действии сил тяжести в сходственных точках числа Фруда должны быть одинако­выми, т. е. должно выполняться требование

Fr_M=Fr_H, или Fr=idem.

При вычислении числа Фруда для конкретных условий g_н =g_м, а вкачестве величин l и и принимают характерные значения линейного размера и скорости. Например, за характерный линейный размер можно принять глубину потока h (или ширину мостовой опоры, или другую вели­чину), а за характерную скорость - ее значение вдали от препятствий, т. е. скорость невозмущенного течения и_∞, т. е.

и т. п.

Если преобладающей является сила трения F_Тр, то можно пренебречь силами тяжести G и давления Р. Условие частичного динамического подобия сводится к ра­венству

или

Согласно закону вязкостного трения Ньютона, сила тре­ния, пропорциональная градиенту скорости и площади соприкасающихся слоев жидкости, равна

Подставляя значения сил трения и инерции в условие частичного динамического подобия для рассматриваемого случая, получаем

или после сокращения, принимая во внимание, что μ/ρ=ν,

(7.12)

Критерий частичного динамического подобия, учиты­вающий вязкость жидкостии выражающий пропорцио­нальность отношения сил инерции и сил трения, называет­ся критерием Рейнольдса. Следовательно, в этом случае в сходственных точках должно выполняться требование Re_M=Re_H или Re=idem.

При определении числа Рейнольдса за характерные ли­нейный размер и скорость обычно принимают глубину и скорость невозмущенного потока (Re=u_∞h_∞/v), диаметр трубопровода и среднюю скорость (Re_d=vd/ν) или гидрав­лический радиус и среднюю скорость (Re_R =vR/ν).

Когда преобладающим является действие сил давления Р, поступая аналогично изложенному выше, придем к условию J_н /P_н =J_м /P_м. Так как Р=pω~р1², то получаем

или

(7.13)

Критерий частичного динамического подобия, учиты­вающий действие сил давленияи пропорциональность отно­шения сил инерции к силам давления, называется крите­рием Эйлера. В сходственных точках числа Эйлера должны быть одинаковыми, т. е. Eu_M=Eu_H или Eu=idem.

В газообразной жидкости скорость звука

где k=C_plC_v; С_p - удельная теплоемкость в изобарическом процессе; С_v - удельная теплоемкость в изохорическом процессе (для воздуха k≈1,41). Если движение газа моде­лируется движением того же газа, то k_м=k_н.

При этом условии можно записать

Так как

, то

или

В сходственных точках Ма_м=Ма_н или Ma=idem, где Ма - число Маха (Маиевского), учитываю­щее сжимаемость жидкости. Легко установить, что при Ма<1 поток газа будет дозвуковым, а при Ма>1 - сверхзвуковым.

Если принять во внимание другие силы, то аналогичным путем можно найти иные критерии частичного динамичес­кого подобия.

В частности, если преобладающей силой яв­ляется сила поверхностного натяжения, то получим критерий подобия Вебера: We=pu²l/σ, где σ - коэффициент поверхностного натяжения.

Если преобладаю­щая - выталкивающая (архимедова) сила - то число Архимеда Ar=gl(ρ-ρ_о)/(ρFr) = (ρ-ρ_о)/(ρFr).

При неуста­новившихся течениях необходимо учитывать критерий подобия Струхаля Sh—l/ut и т. д.

Произведения (частные) различных критериев подобия представляют собой новые критерии подобия рассматривае­мых физических явлений. Это объясняется пропорциона­льностью всех характеризующих их параметров.

Ранее уже было подчеркнуто, что обеспечить полное динамическое подобие невозможно. Покажем на примере, что это действительно так. Пусть заранее известно, что в на­турном потоке действие сил тяжести, трения и инерции соизмеримо. Тогда при моделировании такого потока не­обходимо удовлетворить условия Re=idem и Fr=idem.

Из первого условия следует

Cледо­вательно, масштаб скорости

т_u = u_н / и_м = l_н/l_м ν_м/ν_н) =m^-1 m_ν.

При моделировании геометрический масштаб обычно является заданным. Его назначают, исходя из возможно­стей лаборатории, экономических и других соображений.

По второму условию

И тот же масштаб окажется равным

Приравнивая правые части полученных двух выраже­ний для масштаба скорости, придем к выводу, что для од­новременного удовлетворения двух критериев подобия Fr и Re необходимо на модели применить жидкость с другой вязкостью, причем масштаб вязкости должен быть найден из равенства m_ν/m=m^0,5.

Отсюда m_ν=m^3/2. Так как m_ν=ν_н/ν_м, то ν_м=ν_нm^2/3.

Следовательно, на модели с меньшим, чем у нату­ры, размерами необходимо использовать жидкость с меньшей вязкостью. При моделировании потоков маловязких жидкостей, например воды, это обстоятельство приводит к серьезным затруднениям. При большем числе подлежащих учету сил положение, естественно, усугубляется.

Автомодельность. Если какая-либо величина, харак­теризующая гидравлическое явление, не зависит от того или иного критерия подобия, то говорят, что она автомодельна по отношению к этому критерию. Напри­мер, коэффициент Шези С в квадратичной зоне сопротивле­ния не зависит от числа Рейнольдса Re. Следовательно, он автомоделен к этому критерию. В той же зоне сопротивле­ния и коэффициент гидравлического трения λ автомоделен к числу Рейнольдса. При скоростях течения газов, не пре­вышающих нескольких десятков метров в секунду, и при обычных температурах можно пренебречь влиянием их сжимаемости, т. е. можно такие течения считать автомодель­ными к числу Маха.

Существование областей автомодельности существенно расширяет возможности моделирования гидравлических явлений, поскольку делает ненужным удовлетворять неко­торым критериям подобия.

Определяющие и неопределяющие критерии подобия. Течение жидкости описывается системой уравнений движе­ния и неразрывности, начальными и краевыми условиями для искомых функций, т. е. условиями, накладываемыми на них в начальный момент времени и на границе области, занятой жидкостью. С другой стороны, течение жидкости полностью определяется геометрией потока и физическими свойствами жидкости. Эти условия по от­ношению к исходной системе уравнений являются внешними и независимыми от нее. Они однозначно определяют течение жидкости и называются условиями одно­значности.

Если критерии подобия составлены только из условий однозначности, то их называют определяющими критериями подобия. Остальные критерии относятся к числу неопределяющих, они зависят от опреде­ляющих критериев подобия.

Поясним это на следующем примере. Пусть решается задача об определении перепада давления Δр в круглом трубопроводе диамет­ром d и длиной l, имеющем шероховатую внутреннюю поверхность с высотой выступов шероховатости Δ при заданных средней скорости движения жидкости v и кинематической вязкости ν.

Перепад давления входит в критерий Эйлера Еи= рv/Δр. Этот критерий заранее определить нельзя, поскольку в него входит неиз­вестный перепад давления. Следовательно, критерии подобия Эйлера в данном случае является неопределяющим. Напротив, критерий по­добия Рейнольдса легко находится по заданным (известным) значе­ниям диаметра трубопровода, средней скорости и вязкости: Re= vd/ν. Критерий Рейнольдса в этой задаче выступает в качестве определяющего критерия. определяющими критериями будут также величины Δ/d и l/d.

Обычно зависимость неопределяющего критерия от определяющих записывают в виде критериального уравнения, для нашего случая имеющего вид

Eu=f(Re_d, Δ/d, l/d).