Действия с комплексными числами

 

1.
Сложение. Так как комплексное число можно интерпретировать как точку на комплексной плоскости, то если

, имеем:

Например:

(3+2i) + (-4+7i) = (3-4)+(2+7)I = -1+9i.

 

2.
Умножение.

а). Если числа заданы в алгебраической форме, имеем:

.

Учитывая, что , имеем:

.

в). Если числа заданы в комплексной форме и , то .

При доказательстве мы используем формулы синуса суммы и косинуса суммы двух углов (проделайте самостоятельно).

 

3.
Деление.

а). Если числа заданы в алгебраической форме, то числитель и знаменатель домножим на сопряженное к знаменателю число, чтобы в знаменателе получилось действительное число. Имеем:

(проделайте вычисления самостоятельно, учитывая равенство ).

в). Если числа заданы в комплексной форме и , то

, если .

 

4.
Возведение в степень.

Формулу произведения двух комплексных чисел можно обобщить на n сомножителей. Отсюда, как частный случай, получается формула:

^ 5. Извлечение корня n-ой степени.

Имеет место формула Муавра:

, где .

Таким образом, комплексное число z имеет бесконечно много корней n-ой степени, причем различных корней – ровно n штук. Все корни расположены на окружности радиуса в вершинах правильного n-угольника.

Пример 3.

Вычислить .

Решение: По формуле Муавра имеем:

,

При различных значениях n получим все корни комплексного числа. Среди них имеются ровно четыре различных. Их можно получить, подставляя значения n:

При имеем: .

При имеем: .

При имеем: .

При имеем: .

Все эти корни находятся на окружности радиуса в вершинах правильного четырехугольника (квадрата) (см. рис. 3)

Рис. 3.

Пример 4. Вычислить . Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Вычислим выражение, стоящее в числителе, результат запишем в тригонометрической форме

Подставим полученное число в числитель и применим формулу деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

.

Ответ: .

Решение уравнений.

 

1.
Решение рациональных уравнений n-ой степени.

Из основной теоремы алгебры известно, что каждое алгебраическое уравнение степени n имеет во множестве комплексных чисел ровно n корней.

Рассмотрим уравнение

,

где коэффициенты (i = 0,1, 2,…,n) – действительные числа. Основной метод решения таких уравнений – разложение на множители. При этом, среди множителей могут быть линейные вида и тогда является корнем уравнения и квадратичные . Решая квадратное уравнение , можем получить:

 

1.
два различных действительных корня, если

2.
два совпадающих действительных корня, если

3.
два комплексных (сопряженных) корня, если .

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую часть уравнения для того, чтобы применить метод группировки:

Тогда уравнение примет вид:

или

или .

Учитывая, что , получим .

Ответ: корни уравнения .

 

2.
Решение уравнений произвольного вида.

Другой способ решения уравнений основывается на том, что если , то

Таким образом, необходимо отделить действительные и мнимые части уравнения, приравнять их и решить полученную систему уравнений.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Пусть Тогда уравнение имеет вид: . Отделив действительные и мнимые части в обеих частях равенства, получим:

Решим уравнение Оно эквивалентно совокупности двух систем:

или

или

Оба корня удовлетворяют условию . Возвращаясь к системе, получим: или . Вспоминая, что , получим ответ.

Ответ: .