Линии и области на комплексной плоскости

В заключение исследуем геометрический смысл уравнений и неравенств с комплексными числами. Так как каждое комплексное число представляет собой точку на комплексной плоскости, то уравнение с комплексными числами задает на плоскости линию. Укажем некоторые из них.

. (а)

Так как есть расстояние между точками и , то данная линия определяется как множество точек , расстояние от каждой из которых равно . Это – уравнение окружности с центром в точке и радиуса .

То же самое можно получить, положив и подставив эти точки в уравнение. Т. к. , то , или - уравнение окружности.

. (б)

Это – уравнение луча, выходящего из точки (0,0) под углом к положительному направлению оси Ox. При этом, так как для точки аргумент не определен, то точка (0,0) является «выколотой».

Пример 7. Изобразить на комплексной плоскости линию, задаваемую уравнением .

Решение: Пусть . Тогда и уравнение примет вид:

. Выделим полный квадрат: . Получим: , или - уравнение окружности с центром в точке (-1,0) и радиуса 1.

Неравенство с комплексными числами задает на плоскости область, ограниченную соответствующей линией.

а). задает на плоскости внутренность окружности (см рис 4 а).)

б). задает на плоскости внешнюю часть окружности (см рис 4 б).)

в). задает на плоскости внутренность угла, ограниченного лучами

и . (см. рис. 4 в).)

Рис. 4а) Рис. 4б)

Рис. 4в)

Пример 8. Изобразить на плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств .

Первое неравенство задает на плоскости внешнюю область окружности с центром в точке (1,1) и радиуса 3, вторая область задает внутренность угла со сторонами и . Общая область – пересечение этих двух областей (см. рис 5.).

Рис. 5

Контрольные задания

Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 30 баллов. В решениях следует делать необходимые пояснения и рисунки, дающие представления о ходе Ваших рассуждений.

М.10.1.1. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме, отметить их на комплексной плоскости (5 баллов за пример).

а). , б). , в).

М.10.1.2. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форм (5 баллов за пример).

а). б). в).

М.10.1.3. Вычислить все различные корни их комплексного числа и нанести их на комплексную плоскость (5 баллов за пример).

а). б). в). г).

М.10.1.4. Решить уравнения (10 баллов за пример).

а). б). в). г).

М.10.1.5. При каких значениях параметра a уравнение имеет комплексные корни? (10 баллов за пример).

а). б).

Найти эти корни при каком-либо значении параметра.

М.10.1.6. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условием?? (10 баллов за пример).

а). б). в).

г). д). е).

Изобразить найденное множество на комплексной плоскости.