Интервальный ряд и гистограмма

 

При обработке большого числа экспериментальных данных их предварительно группируют и оформляют в виде так называемого интервального ряда.

Пример. Рассмотрим среднюю месячную зарплату 50 случайно отобранных работников предприятия:

 

Величина Х здесь – средняя месячная зарплата. Наименьшее её значение – 130, наибольшее – 370. Диапазон составляет 130 - 370, его длина (размах) 370 – 130 = 240.

Разобьем диапазон на части (разряды) так, чтобы каждый разряд содержал несколько экспериментальных данных. Например, на 6 равных частей: 240: 6 = 40 – длина одного разряда. Границы: 130, 170, 210, 250, 290, 330, 270.

Замечание. В статистике же, для определения количества частей диапазона (интервалов) используется формула Стреджесса: I=1+3,322⋅log₂N, где N — это количество значений диапазона (размер выборки).

Подсчитаем число значений в каждом разряде, например, разряд 130 - 170: 130, 170, 150,160,160; поскольку значение 170 попадает на границу 1 – го и 2 – го разрядов, включим его и в 1 – й, и во 2 – й разряды, но с с кратностью ½. Сложим кратности, получим абсолютную частоту 1 – го разряда:

m₁ = 1 + ½ + 1+2 = 4 ½.

Относительная частота попадания Х в 1 – й разряд равна:

И т.д. Результаты можем свести в таблицу:

Таблица 6

 

	130 - 170	170 - 210	210 - 250	250 - 290	290 - 330	330 – 370
	4,5			14,5
	0,09	0,1	0,24	0,29	0,18	0,1

 

Таблица 6 называется интервальным рядом. Для проверки правильности вычислений используется свойство:

,

а также свойство

.

Графически интервальный ряд изображается в виде гистограммы, которая строится так. Сначала вычисляют плотности частот делением относительной частоты каждого разряда на его длину:

, где ∆ Х = 40;

; ; ; ; .

Затем выбирают на плоскости систему координат и откладывают на оси Х границы разрядов: 130, 170, 210, … На каждом участке оси Х из отрезков длины 40, как на основании, строят прямоугольник высотой .

В каждом прямоугольнике площадь равна .

Отсюда правило: чтобы найти долю тех значений Х, которые попадают в некоторый интервал, надо найти площадь той части гистограммы, основанием которой является данный интервал.

Найдем долю значений средних месячных зарплат работников данного предприятия, которые попадают в интервал 210 – 300:

, или 57,5%.

В случае интервального ряда отдельные значения Х не фиксируются, а подсчитываются только абсолютные частоты каждого разряда. Поэтому нельзя использовать формулы (1), (5) и (7) для вычисления , D и S. Однако можно найти приближенные значения этих величин. Для этого находят середины разрядов ; затем вычисляют величины , D и S по следующим формулам:

(8)

(9)

(10)

Результаты расчетов могут быть сведены в таблицу:

Таблица 7

i
		13,5	- 106,8	11406,24	1026,56
		19,0	- 66,8	4462,24	446,22
		55,2	- 26,8	718,24	172,38
		78,3	13,2	174,24	90,53
		55,8	53,2	2830,24	509,44
		35,0	93,2	8686,24	868,62
		256,8			3113,75

 

и т.д.

D = 3113,75;

S = .

 

Интервальный ряд, гистограмма и числовые характеристики, найденные по формулам (8) – (10), составляют математическую модель средней заработной платы на данном предприятии. Она используется при проведении различных социологических исследований, например, при определении уровня жизни работников какой – либо отрасли.

 

Часто для анализа строится еще и график. В этом случае находятся средние значения по каждому интервалу (суммируются границы интервала и полученная сумма делится на 2). Для графика используются полученные средние значения (по оси абсцисс Х) и частоты m_i или доли p_i (по оси ординат У).

 

 

Лекция 3