Метод найменших квадратів

Метод найменших квадратів (МНК) дозволяє розрахувати параметри функції, яка найкращим чином описує певну експериментальну залежність. Така функція , яку називають рівнянням регресії, повинна бути заданою на підставі фізичних міркувань. Сутність МНК полягає у мінімізації суми квадратів відхилень () експериментальних точок від теоретичних даних:

(16)

Якщо записати функцію у вигляді степеневого ряду , то рівняння (16) перепишеться у вигляді

(17)

Задача полягає у знаходженні таких значень , при яких є мінімальним. Умовою мінімуму є рівність нулеві часткових похідних від по всіх :

(18)

При цьому (18) являє собою систему рівнянь для визначення :

(19)

Найбільш простим є випадок, коли є лінійною функцією, тобто коли її можна записати у вигляді

(20)

До лінійного випадку можна звести й температурну залежність коефіцієнту теплопровідності, якщо ввести такі позначення:

(21)

Рівняння (19) для лінійної залежності (20) має простий вигляд:

(22)

Розв’язки системи (22) дозволяють знайти вирази для і

(23)

(24)

Додатково з теорії кореляцій обчислюється значення коефіцієнту лінійного кореляційного зв’язку поміж величинами та :

(25)

де – кількість проведених дослідів.

При значенні існує функціональний зв’язок поміж і . Експериментальні дані при цьому точно укладаються на пряму виду (20). Розкид величин і , обумовлений похибками експерименту, знижує коефіцієнт кореляції. Якщо , величини і є повністю незалежними одна від одної.

Крім того, обчислюються середньоквадратичні похибки визначення коефіцієнтів і лінійної регресії:

(26)

(27)

Контрольні запитання

1. Пояснити механізм теплопровідності газів. Окрім теплопровідності, які ще способи передачі тепла існують?

2. Сформулювати закон Фур’є. Що таке градієнт температури та густина теплового потоку, як вони спрямовані?

3. Розкрити фізичний зміст коефіцієнту теплопровідності. Вивести його розмірність.

4. Від яких параметрів газу і як залежить коефіцієнт теплопровідності?

5. У чому полягає метод визначення коефіцієнту теплопровідності, який використовується в роботі? Основні складові частини лабораторної установки та їх призначення.

6. Основна ідея методу найменших квадратів. Що показує коефіцієнт кореляції?

Література

1. Савельев И.В. Курс общей физики, том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. - М.: Наука, 1970. - 512с.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 2. Термодинамика и молекулярная физика. - М.: Наука, 1989. - 552с.

3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики, том1. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка. – К.: Техніка, 1999. – 536с.

4. Гофман Ю.В. Законы, формулы, задачи физики. Справочник. – К.: Наукова думка, 1977. – 576с.