2017-12-14
1703
Предположим, что результаты эксперимента, который проводился в соответствии с матрицей ПФЭ типа 22 при n=3 параллельных опытах для каждого условия их проведения, представлены на рис.3.1.
X2
Y3=21, 19, 17 Y4=25, 27, 24
X1
Y1=42, 48, 44 Y2=51, 53, 49
Рисунок 3.1 - Результаты трех параллельных опытов, проведенных в соответствии с ПФЭ для двух факторов X1 и X2
Из анализа результатов эксперимента, приведенного на рисунке 6.1, видно, что при изменении значения фактора X2 от его нижнего уровня до верхнего, значения функции отклика во всех трех параллельных опытах уменьшились примерно в два раза. Поэтому влияние этого фактора экспериментально подтвердилось и не вызывает никакого сомнения. С другой стороны, варьирование фактора X1 приводит также (рисунок 6.1) к изменению значения функции отклика, хотя не с такой разительной разницей, как при изменении значений фактора X2. Объективно ответить на вопрос о случайном или закономерном характере изменений функции отклика сможет дисперсионный анализ приведенных результатов эксперимента. Для этого нужно подсчитать дисперсии внутри и между выборками, представляющими собой экспериментальные значения Yξ при фиксированном значении фактора X2 и различных значениях X1, и оценить эти дисперсии с помощью критерия Фишера. При этом дисперсия внутри выборки характеризует случайные изменения процесса, а дисперсия между выборками – систематические его изменения.
Рассмотрим значения функции отклика Yξ, соответствующие верхнему уровню фактора X2, то есть при X2б=+1 и различным уровням варьирования X1, то есть X1=+1 и X2= –1, которые приведены в таблице 3.3.
Таблица 3.3 – Экспериментальные значения функции отклика при фиксированном значении X2 в трех параллельных опытах при различных значениях фактора X1
| Номер параллельного опыта | Значение функции отклика при заданных условиях проведения эксперимента | |
| X2=+1 | ||
| X1=+1 | X1= –1 | |
| ||
| 25,33 |
Подсчитаем главное экспериментальное среднее значение функции отклика, для этого воспользуемся либо значениями функции отклика, соответствующими каждому параллельному опыту, либо их средними значениями, соответствующими одному из условий проведения эксперимента и приведенными в последней строке таблицы 3.3.
Тогда
Зная главное среднее, можно подсчитать оценку дисперсии между выборками:
Дисперсия внутри выборки, характеризующая случайную изменчивость исследуемого процесса, для приведенных в таблице 3.3 значений функции отклика, будет равна
Из сравнения значений 
и 
видно, что > , причем эта разница значительна.
Проверим достоверность этого отличия с помощью критерия Фишера. Экспериментальное значение F-параметра будет равно
F= / =59,97/3,17=18,92.
В соответствии с таблицей А2 приложения А для β=0,01 и ν1=1, ν2=4 критическое значение равно Fкр=21,20. Сравнивая экспериментальное и критическое значения F-параметра, приходим к выводу, что F<Fкр, то есть существенное отличие и не является закономерным, следовательно, можно утверждать, что фактор X1 не влияет на параметр отклика Y и в дальнейшем можно не учитывать его при построении модели. Этот вывод будет верным в 99 случаях из 100, так как β=0,01. Для большей достоверности нашего вывода, когда мы можем ошибиться только в одном случае из ста, фактор X1 следует отбросить при дальнейшем проведении эксперимента.
Задачи для решения
1. Оценить значимость влияния и дать интерпретацию результатов эксперимента с конкретными рекомендациями. В таблице даны результаты опытов при исследовании влияния группы материала одной и той же партии на выходную переменную
| Выходная величина Y | Группа материалов | |||
| 17,5 | 20,5 | |||
| 17,3 | 17,5 | 19,5 | 19,5 | |
| 20,25 | 19,25 | 20,5 | ||
| 19,5 | 19,3 | |||
| 19,5 | ||||
| 19,5 | ||||
| 20,5 | 20,5 | 20,5 | 19,5 | |
| 19,5 | 19,5 | 19,3 | ||
| 20,5 | 20,25 | 19,7 | 20,2 |
2. Провести дисперсионный анализ результатов технологического эксперимента, план которого полностью рандомизирован. Проверить нуль-гипотезу о том, что фактор А не влияет на результаты измерения
| Уровни измерения | Уровни фактора А | ||||
| -2 | |||||
| -2 | -1 | ||||
| -3 |
3. Выходной параметр – время нагревания микропаяльника, с. Уровни единственного фактора А – три разных типа микропаяльников. Эксперимент полностью рандомизирован.
Провести дисперсионный анализ и проверить гипотезу о том, что среднее время нагревания одинаково для всех типов микропаяльников.
| Время нагревания микропаяльника, с | Тип микропаяльника | |||||
| А1 | А2 | А3 | ||||
4. Выходной параметр – срок службы миниатюрного индикаторного прибора, ч. Уровни единственного фактора А – партии приборов, изготовленные по четырем разным технологиям. Отбор приборов для испытания полностью рандомизирован.
Проверить нуль-гипотезу о том, что варианты технологического процесса не влияют на срок службы индикаторных приборов.
| Номер повторяемости опыта | Номер варианта технологического процесса | |||
| А1 | А2 | А3 | А4 | |
Переходить к кодированным данным с помощью преобразования
Yкод=(Y-1600)/10/
4. Сравнить по выходному параметру продукцию, получаемую из трех разных по конструкции единиц технологического оборудования и установить, отличаются ли между собой средние выборок. Эксперимент полностью рандомизирован.
| Номер повторяемости опыта | Вариант технологического оборудования | ||
| А1 | А2 | А3 | |
5. Провести дисперсионный анализ данных полностью рандомизированного эксперимента по условиям:
| Вариант технологического оборудования | Номер повторяемости опыта | |||
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
6. Для изготовления печатных плат на складе предприятия получены две партии химиката, сертификаты на которые потеряны. Выяснить, являются ли эти партии химиката пригодными для использования в технологическом процессе, если на складе находится еще одна партия того же химиката, принятая по сертификату входным контролем. Данные замеров поверхностного сопротивления контрольных экземпляров серий печатных плат, отбор которых был полностью рандомизирован, в кодированном виде представлены в таблице.
| Номер партии химиката | А1 | А2 | А3 | |||
| Поверхностное сопротивление (кодированное) | ||||||
| -17 | -27 | -32 | ||||
| -28 | -18 | -13 | -19 | |||
| -7 |
7. В бригаде радиорегулировщиков, состоящей из четырех человек, одному (первому) доверено личное клеймо контроля качества. Можно ли доверять личное клеймо бригаде в целом? Данные контрольных замеров аппаратов, отобранных с рабочих мест радиорегулировщиков в полностью рандомизированном порядке, приведены в таблице.
| Номер регулировщика | А1 | А2 | А3 | А4 | ||||
| Значения выходного параметра – чувствительности диапазона волн радиоприемника | 24.5 | 33.7 | 38.6 | 34.1 | 31.9 | 25.4 | 34.6 | 32.7 |
| 31.2 | 27.6 | 28.9 | 30.2 | 27.3 | 29.6 | 30.5 | 31.2 | |
| 34.1 | 25.8 | 35.1 | 31.7 | 34.3 | 32.6 | 29.7 | 29.9 | |
| 32.3 | 31.2 | 30.6 | 28.5 | 28.3 | 29.4 | 32.3 | 30.1 |
8. Для пропитки высокочастотных катушек индуктивности радиоприемника получен парафин, марка которого не соответствует записанной в технической документации. Задача технолога – решить, можно ли партию парафина (партия №1) запустить в производство без ущерба для качества изделий. Для проведения контрольных замеров партия №1 парафина была запущена параллельно текущему производству, где использовались еще две партии. Эксперимент полностью рандомизирован.
| Номер партии парафина | А1 | А2 | А3 | |||
| Добротность катушек | ||||||
Контрольные вопросы
1. Какого типа практические задачи обычно решают методом дисперсионного анализа?
2. Как математически формулируется задача однофакторного дисперсионного анализа?
3. В чем заключается основная идея метода дисперсионного анализа?
4. Каким образом производится оценивание существенности влияния фактора в однофакторном дисперсионном анализе?
5. Как производится оценивание влияния двух факторов и их взаимодействий в двухфакторном дисперсионном анализе?
