Нахождение переходной функции элемента

Рис. 2.12. Схема и кривые, поясняющие сущность частотных характеристик

 

 

По завершении переходного процесса установится режим вынужденных колебаний и выходная величина y(t) будет изменяться по тому же закону, что и входная x(t), но в общем случае с другой амплитудой y_m и с фазовым сдвигом j по оси времени относительно входного сигнала (рис. 2.12, б):

y(t) = y_msin(w t + j). (2.33)

Проведя аналогичный опыт, но при другой частоте w, можно увидеть, что амплитуда y_m и фазовый сдвиг j изменились, т. е. они зависят от частоты. Можно убедиться также, что для другого элемента зависимости параметров y_m и j от частоты w иные. Поэтому такие зависимости могут служить характеристиками динамических свойств элементов.

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

· амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты

(2.34)

 

АЧХпоказывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Пример АЧХ приведен на рис. 2.13, а.

 

Рис. 2.13. Частотные характеристики:

а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая

Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.

ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Пример ФЧХ приведен на рис. 2.13, б.

Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного jw:

W(jw) = A(w) e ^{jj (w)} (показательная форма), (2.35)

где A(w) – модуль функции; j (w) – аргумент функции.

Каждому фиксированному значению частоты w_i соответствует комплексное число W(jw_i ), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(w_i) и угол поворота j (w_i ) (рис. 2.13, в). Отрицательные значения j (w), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.

Проекции вектора W(jw) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают P(w), Q(w). Это позволяет записать АФЧХ в алгебраической форме:

W(jw) = P(w) +j Q(w) (2.36)

АФЧХ, как и любую комплексную величину, можно также представить в тригонометрической форме

W(jw) = A(w)cosj (w) + j A(w)sinj (w). (2.37)

Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки p = jw:

W(jw) = W(p) ½ _{p = jw}. (2.38)

Связь между различными частотными характеристиками следующая:

A(w) = ç W(jw) ç = (2.39)

j (w) = arg W(jw) = (2.40)

При практических расчетах АСУ (без применения электронных вычислительных машин) удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

 

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.

Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты w_i и его десятикратным значением 10w_i.

Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

L(w) = 20 lgA(w), (2.41)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – беллах (Б) или децибеллах (дБ).

Белл – единица измерения мощностей двух сигналов.

Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б, (lg 10 = 1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(w) = 100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 100² раз, т.е. на 2lg 100 = 4 Б или на 40 дБ, соответственно и L(w) = 20 lg A(w) = 40 дБ.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс (оси частоты).

На рис. 2.13, г показаны ЛАЧХ L(w) (толстая линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика L_а(w) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают w_с.

По виду частотных характеристик все элементы делятся на две группы:

· минимально-фазовые;

· неминимально-фазовые.

Минимально-фазовый элемент – элемент, у которого все полюсы и нули передаточной функции W(p) имеют отрицательные действительные части.

Минимально-фазовые элементы дают минимальный фазовый сдвиг j (w) по сравнению с любыми другими элементами, имеющими такую же амплитудную характеристику A(w), но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна.

Минимально-фазовые элементы обладают важным для практических расчетов свойством: их частотная передаточная функция полностью определяется одной из трех составляющих - A(w), P(w) и Q(w). Это существенно упрощает задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем.

Нахождение переходной функции элемента

 

Полагаем входной сигнал четырехполюсника равным единичному ступенчатому воздействию e = 1 (t). Тогда его выходной сигнал будет равен переходной функции u_c= h(t).

Учитывая сказанное в уравнении (2.44), приводим его к виду:

1 (t). (2.45)

Вынужденную составляющую переходной функции находим из уравнения (2.45), полагая в нем производную dh(t)/dt)= 0,

h_в(t) = 1. (2.46)

Составляем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.45)

0,1 p + 1 = 0. (2.47)

Корень характеристического уравнения

p = -10.

Свободную составляющую переходной функции находим по выражению (2.21) при n = 1 и p₁ =-10

(2.48)

Находим переходную функцию, суммируя ее вынужденную (2.46) и свободную (2.48) составляющие,

h (t) = h_в (t) + h_с (t) = (2.49)

Из уравнения (2.49) при нулевых начальных условиях (h(0)= 0) определяем коэффициент

C₁ = -1.

Подставляя значение этого коэффициента в выражение (2.49), находим искомую переходную функцию элемента

(2.50)

График переходной функции элемента приведен на рис. 2.15.

 

Рис. 2.15. График переходной функции элемента