Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах , i = 0, 1, 2, …, n, с шагомh. Требуется найти интерполяционный многочлен P_n(x)степени не выше n, удовлетворяющий условию:

P_n(x_i) = y_i, i =0, 1, 2, …, n. (1.3.3-2)

Будем искать интерполяционный многочлен вида:

P_n(x) =a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+ …+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1),(1.3.3-3)

где а_i, i =0,1,2,…,n–неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для нахождения коэффициентов формулы Ньютона а_iбудем подставлять в (1.3.3-3) значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (1.3.3-2).

Пусть х = x₀, тогда, согласно (1.3.3-2), P_n(x₀) =y₀= a₀. Следовательно, a₀=y₀.

Пустьх = x_1, тогда

P_n(x₁) = y₁ = a₀+a₁(x₁-x₀) = y₀ +a₁(x₁-x₀). (1.3.3-4)

Из равенства (1.3.3-4) следует, что

Теперь пусть х = х₂, тогда:

Выражая неизвестный коэффициент, получим:

Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с номером i:

Подставив найденные значения коэффициентов в (1.3.3-4), получим первую интерполяционную формулу Ньютона:

(1.3.3-5)

Воспользуемся этой формулой, как одной из возможных форм записи интерполяционного многочлена второй степени.

(1.3.3-6)

Тогда для вычисления значения функции, заданной табл. 1.3.3-1, при х = 1.45:

Отметим, что при использовании первой интерполяционной формулы Ньютона целесообразно выбирать х₀близко к точке интерполяции (интерполяция вперед). Это обеспечивает более высокую точность при фиксированном числе узлов. Запись интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона позволяет учитывать дополнительные узлы в правой части таблицы, уточняя ранее полученный результат, без пересчета остальных слагаемых.

Введя обозначение: и проведя несложные преобразования вида: приведем (1.3.3-5) к виду:

(1.3. 3-7)

Это второй вид записи формулы Ньютона для интерполирования вперед. Она применяется для интерполяции f(x) в окрестностях начального значения х₀, где q – достаточно мало по абсолютной величине.

Если n=1, то из (1.3.3-6) получаем формулу линейной интерполяции