Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа

 

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ α; 0 ≤ y ≤ b;

U_xx+U_yy=f (x,y), (12.7)

(ГУ) U_r=φ (x,y). (12.8)

 

Выбрав шаги по времени и по координатам, строим сетку

x_l = l · h; x ₀ = 0; x_l = l · h; x_n = α; y_J = J · τ; y ₀ = 0; y_m = b

где t = 1, 2 ,….,n; J = 1, 2 ,……., m.

Заменяя в каждом внутреннем узле (x_l, y_J) производные конечными разностями по формулам (12.4), получаем конечно-разностные уравнения

, (12.9)

U _{0, J} = φ (0 ,y_J) = φ _{0, J}; U_n,J = φ (α,y_J) = φ_n,J, (12.10)

U_{l, 0} = φ (x, 0) = φ_{l, 0}; U_l,m= φ (x,b) = φ_l,m, (12.11)

 

где t = 1, 2 ,…., n; J = 1, 2 ,……., m.

Уравнения (12.9) вместе с условиями (12.10)-(12.11) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно U_l,J. Число неизвестных и число уравнений в системе равно числу внутренних узлов сетки. Схема узловых точек для уравнений (12.9) изображена на рис. 12.1.

Если h = τ и J_l,J = 0, то конечно-разностные уравнения имеют вид

 

(12.12)

 

Пример 1. Найти решение уравнения теплопроводности

U_xx=U_t; 0 ≤ x ≤ 1; t ≥ 0;

(НУ) U (x, 0) =4 · x · (1 -x);

(ГУ) U (0 ,t) =U (1 ,t) = 0

методом сеток с точностью до ε = 0.001 на первых трех временных уровнях, если шаг по координате Δ x = h = 0,1, по времени Δ t = τ = 1/600.

 

 

Решение. Для вычисления U_l,J воспользуемся системой конечно-разностных уравнений (12.9) при g = 0:

= ( + )+ , (12.13)

(НУ) U_{l, 0} = 4 · x_l · (1 -x_l); l = 1, 2 ,…., 10, (12.14)

(ГУ) U _{0, J}= U _{10, J} = 0; J= 0,1,2. (12.15)

 

Составим таблицу значений U_l,J (табл. 12.1).

 

Таблица 12.1

l J
		0.360	0.640	0.840	0.960		0.960	0.840	0.640	0.360
		0.347	0.627	0.827	0.977	0.987	0.977	0.827	0.627	0.347
		0.336	0.613	0.813	0.933	0.973	0.933	0.813	0.613	0.336

 

В силу симметрии начальных и краевых условий относительно оси x = 0,5 решение U_l,J будет симметричным относительно этой же оси.

Это позволяет вести расчеты для t = 1, 2 ,…., 5, а для остальных значений следует заполнить таблицу, исходя из свойства симметрии:

 

U _{0, J} = U _{10, J}; U _{1, J} = U _{9, J}; U _{2, J} = U _{8, J}; U _{3, J} = U _{7, J}; U _{4, J} = U _{6, J}.

Начальная строка этой таблицы (J = 0) заполняется на основании зaданного начального условия (12.14).

В первый (l = 0) и последний (l = 10) столбцы вписываются данные граничных условий (12.15). Остальные строки таблицы последовательно заполняются с помощью применения расчетной формулы (12.13). На первом шаге

 

U_l,J = (1/6) · .

Например,

U _1,1 = (1/6) · = (1/6) · (0,640+4∙0,360) = 0,347.

На втором шаге

U_l,2 = (1/6) · .

 

 

Пример 2. Применяя метод сеток с шагом h = τ = 1/3, найти решениеуравнения Лапласа в квадрате с вершинами А (0,0), В (0,1), С (1,1), D (1,0), удовлетворяющее краевым условиям

U (0 ,y) = 30 · y; U (x, 1) = 30 · (1 -x ²); U (1 ,y) = 0; U (x, 0) = 0.

Решение. Конечно-разностные уравнения для уравнения Лапласа при h = τ = 1/3имеют вид:

U_0,J = 0,25 · , (12.16)

(ГУ) U_0,J = 30 · J · h; U _{3, J} = 0; (12.17)

(НУ) (U_{l, 0} = 0; U_{l, 3} = 30 · (1 - (l · h)²), (12.18)

где x = l · h, y = J · h, l = 1,2,3, J = 0,1,2,3.

Составим таблицу U_l,J (табл. 12.2)

Таблица 12.2

y x		1/3	2/3
	U 0,0 = 0	U0 ,1 = 10	U 0,2 = 20	U 0,3 = 30
1/3	U l,0 = 0	U l,1	U l,2	U l,3 = 26,67
2/3	U 2,0 = 0	U 2,1	U 2,2	U 2,3 = 16,67
	U 3,0 = 0	U 3,1 = 0	U 3,2 = 0	U 3,3 = 0

 

Первая и последняя строки этой таблицы получены из граничных условий (12.17), а первый и последний столбцы - из (12.18).

 

U _l,1, U _l,2, U _2,1, U _2,2 находимиз следующей системы линейных алгебраических уравнений, которые получены из расчетной формул (12.16):

 

 

.