Приведем сначала удобную схему вычислений по методу Рунге-Кутта, сведя ее в табл.4, и опишем порядок заполнения этой таблицы.
Схема метода Рунге-Кутта:
Таблица 4
i | x | у | K=hf(x,y) | Δ у |
х 0 | у 0 | K 1(0) | K 1(0) | |
K 2 (0) | 2 K 2 (0) | |||
K 3(0) | 2K 3(0) | |||
х 0+ h | у 0+ K 3(0) | K 4(0) | K 4(0) | |
Δу 0 | ||||
х 1 | у 1 |
Порядок заполнения таблицы
1. Записываем в первой строке таблицы данные значения х 0 ,у 0.
2. Вычисляем f (х 0 ,у 0), умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 1(0).
3. Записываем во второй строке таблицы , .
4. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 2 (0).
5. Записываем в третьей строке таблицы , .
6. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 3(0).
7. Записываем в четвертой строке таблицы х 0 + h, у 0 + K 3(0).
8. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 4(0).
9. В столбец Δ у записываем числа K 1(0), 2K 2 (0), 2K 3(0), K 4(0).
10. Суммируем числа, стоящие в столбце Δ у, делим на 6 и заносим в таблицу в качестве Δ у 0.
11. Вычисляем у 1 = у 0 + Δ у 0.
|
|
Затем все вычисления повторяются в том же порядке, принимая за начальную точку (х 1, у 1). Заметим, что если f (x,y) являются достаточно сложной функцией, то рекомендуется вычисление правой части дифференциального уравнения включать в табл.4 или, если эти вычисления громоздки, записывать их в отдельную таблицу.
Итак, решим исходное уравнение методом Рунге-Кутта. Приближенные значения у 1, у 2 ,..,у 5решения этого уравнения будем вычислять по формулам (10.14)–(10.16), где , в порядке, указанном в приведенной выше схеме. Результаты вычислений помещаем в табл.5, заполняя ее в указанном выше порядке.
При i = 0.
1. Записываем в первой строке х 0 = 0,0, у 0 = 1,0000.
2. Вычисляем f (х 0 ,у 0) = 1,0000; тогда K 1(0) = 0,2 ∙1,0000 = 0,2000.
3. Записываем во второй строке ,
4. Вычисляем = 0,9182; тогда K 2 (0) = 0,1836.
5. Записываем в третьей строке , .
6. Вычисляем = 0,9086; тогда K 3(0) = 0,1817.
7. Записываем в четвертой строке х 0 + h = 0,2; у 0 + K 3(0) = 1,1817.
8. Вычисляем f (х 0+ h, у 0+ K 3(0)) = 0,8432; тогда K 4(0) = 0,1686.
9. В столбец Δ у записываем числа K 1(0), 2K 2 (0), 2K 3(0), K 4(0).
10. Вычисляем = 0,1832.
11. Получаем у 1 = у 0 + Δ у 0 = 1,1832.
Таблица 5
i | x | у | K=hf(x,y) | Δ у |
0,0 | 1,0000 | 0,2000 | 0,2000 | |
0,1 | 1,1000 | 0,1836 | 0,3672 | |
0,1 | 1,0918 | 0,1817 | 0,3624 | |
0,2 | 1,1817 | 0,1686 | 0,1686 | |
0,1832 | ||||
0,2 | 1,1832 | 0,1690 | 0,1690 | |
0,3 | 1,2677 | 0,1588 | 0,3178 | |
0,3 | 1,2627 | 0,1575 | 0,3150 | |
0,4 | 1,3407 | 0,1488 | 0,1488 | |
0,1584 | ||||
0,4 | 1,3417 | 0,1490 | 0,1490 | |
0,5 | 1,4162 | 0,1420 | 0,2840 | |
0,5 | 1,4127 | 0,1409 | 0,2819 | |
0,6 | 1,4826 | 0,1346 | 0,1346 | |
0,1416 | ||||
0,6 | 1,4833 | 0,1348 | 0,1348 | |
0,7 | 1,5507 | 0,1296 | 0,2592 | |
0,7 | 1,5481 | 0,1287 | 0,2575 | |
0,8 | 1,6120 | 0,1239 | 0,1239 | |
0,1292 | ||||
0,8 | 1,6125 | 0,1241 | 0,1241 | |
0,9 | 1,6745 | 0,1199 | 0,2398 | |
0,9 | 1,6725 | 0,1192 | 0,2385 | |
1,0 | 1,7317 | 0,1154 | 0,1154 | |
0,1196 | ||||
1,0 | 1,7321 |
|
|
Значения х 1 = 0,1, у 1 = 1,1832 заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.14)–(10.16).