double arrow

Решение уравнения методом Рунге-Кутта

Приведем сначала удобную схему вычислений по методу Рунге-Кутта, сведя ее в табл.4, и опишем порядок заполнения этой таблицы.

Схема метода Рунге-Кутта:

Таблица 4

i x у K=hf(x,y) Δ у
  х 0 у 0 K 1(0) K 1(0)
  K 2 (0) 2 K 2 (0)
  K 3(0) 2K 3(0)
  х 0+ h у 0+ K 3(0) K 4(0) K 4(0)
        Δу 0
  х 1 у 1    

 

Порядок заполнения таблицы

 

1. Записываем в первой строке таблицы данные значения х 0 0.

2. Вычисляем f (х 0 0), умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 1(0).

3. Записываем во второй строке таблицы , .

4. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 2 (0).

5. Записываем в третьей строке таблицы , .

6. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 3(0).

7. Записываем в четвертой строке таблицы х 0 + h, у 0 + K 3(0).

8. Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 4(0).

9. В столбец Δ у записываем числа K 1(0), 2K 2 (0), 2K 3(0), K 4(0).

10. Суммируем числа, стоящие в столбце Δ у, делим на 6 и заносим в таблицу в качестве Δ у 0.

11. Вычисляем у 1 = у 0 + Δ у 0.

Затем все вычисления повторяются в том же порядке, принимая за начальную точку (х 1, у 1). Заметим, что если f (x,y) являются достаточно сложной функцией, то рекомендуется вычисление правой части дифференциального уравнения включать в табл.4 или, если эти вычисления громоздки, записывать их в отдельную таблицу.

Итак, решим исходное уравнение методом Рунге-Кутта. Приближенные значения у 1, у 2 ,..,у 5решения этого уравнения будем вычислять по формулам (10.14)–(10.16), где , в порядке, указанном в приведенной выше схеме. Результаты вычислений помещаем в табл.5, заполняя ее в указанном выше порядке.

При i = 0.

1. Записываем в первой строке х 0 = 0,0, у 0 = 1,0000.

2. Вычисляем f (х 0 0) = 1,0000; тогда K 1(0) = 0,2 ∙1,0000 = 0,2000.

3. Записываем во второй строке ,

4. Вычисляем = 0,9182; тогда K 2 (0) = 0,1836.

5. Записываем в третьей строке , .

6. Вычисляем = 0,9086; тогда K 3(0) = 0,1817.

7. Записываем в четвертой строке х 0 + h = 0,2; у 0 + K 3(0) = 1,1817.

8. Вычисляем f (х 0+ h, у 0+ K 3(0)) = 0,8432; тогда K 4(0) = 0,1686.

9. В столбец Δ у записываем числа K 1(0), 2K 2 (0), 2K 3(0), K 4(0).

10. Вычисляем = 0,1832.

11. Получаем у 1 = у 0 + Δ у 0 = 1,1832.

Таблица 5

i x у K=hf(x,y) Δ у
  0,0 1,0000 0,2000 0,2000
0,1 1,1000 0,1836 0,3672
0,1 1,0918 0,1817 0,3624
0,2 1,1817 0,1686 0,1686
    0,1832
  0,2 1,1832 0,1690 0,1690
  0,3 1,2677 0,1588 0,3178
0,3 1,2627 0,1575 0,3150
0,4 1,3407 0,1488 0,1488
    0,1584
  0,4 1,3417 0,1490 0,1490
  0,5 1,4162 0,1420 0,2840
0,5 1,4127 0,1409 0,2819
0,6 1,4826 0,1346 0,1346
    0,1416
  0,6 1,4833 0,1348 0,1348
  0,7 1,5507 0,1296 0,2592
0,7 1,5481 0,1287 0,2575
0,8 1,6120 0,1239 0,1239
    0,1292
  0,8 1,6125 0,1241 0,1241
  0,9 1,6745 0,1199 0,2398
0,9 1,6725 0,1192 0,2385
1,0 1,7317 0,1154 0,1154
    0,1196
  1,0 1,7321    

 

Значения х 1 = 0,1, у 1 = 1,1832 заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.14)–(10.16).

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: