Формула прямоугольников

Заменим площадь криволинейной трапеции aАВb (рис. 9.2), численно равную интегралу (9.1), на сумму площадей левосторонних или правосторонних прямоугольников, то есть на y ₀ h + y ₁ h + … + y_{n -1} h или y ₁ h + y ₂ h + … + y_nh. Тогда интеграл (9.1) приближенно выражается любой из формул:

, (9.2)

(9.2')

 

Это формулы левосторонних и правосторонних прямоугольников.

Чем больше число n, тем меньше ошибка, совершаемая при вычислении на отрезке [ a,b ], то и для погрешности R_n формул прямоугольников справедлива следующая оценка:

(9.3)

где . Если задана точность вычислений ε, то из (3) можно найти число разбиений n отрезка [ a,b ], которое обеспечит эту точность

. (9.4)

9.3. Формула трапеций. Естественно ожидать более точное значение интеграла (9.1), если данную кривую y = f(x) заменить не ступенчатой, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 9.3). Тогда площадь криволинейной трапеции aABb заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами АА ₁, А ₁ А ₂, …, А _n-1 B. Так как площади этих трапеций соответственно равны

 

то для интеграла (1) получаем приближенную формулу

 

(9.5)

 

Это формула трапеций. Число n произвольно, но чем оно больше, тем с большей точностью будет получено значение интеграла (9.1). Если f"(x) существует и ограничена на отрезке [ a,b ], то погрешность R _n формулы (9.5) оценивается неравенством

, (9.6)

где . Если задана точность вычислений ε, то из (9.6) можно найти число разбиений n отрезка [ a,b ], обеспечивающее эту точность

 

. (9.7)

 

9.4. Формула парабол (Формула Симпсона). Разделим отрезок [ a, b ] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [ х ₀, х ₁] и [ х ₁, х ₂] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью параболической трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через три точки М ₀ (х ₀, у ₀ ), М ₁ (х ₁, у ₁ ), М ₂ (х ₂, у ₂ ), и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис. 9.4). Аналогичным образом поступим и для других пар отрезков [ х ₂, х ₃], [ х ₃, х ₄], …, [ х _{2 m -2}, х _{2 m -1}], [ х _{2 m -1}, х_{2 m} ]. Площади построенных параболических трапеций соответственно равны

 

, , …, ,

 

а их сумма даст приближенное значение интеграла (9.1)

(9.8)

 

Это формула Симпсона. Здесь число 2 m точек деления отрезка [ a,b ] произвольно, но чем больше это число, тем точнее значение интеграла (9.1). Если f"(x) существует и ограничена на отрезке [ a,b ], то для погрешности R _nформулы (9.8) справедлива следующая оценка:

 

, (9.9)

где . Если задана точность вычислений ε, то из (9.9) можно найти число разбиений 2 m = n отрезка [ a,b ], которое обеспечит эту точность

 

. (9.10)

 

ЗАМЕЧАНИЕ. В связи с трудностями оценки четвертой производной подынтегральной функции f(x), погрешность R _n совершаемую при вычислении определенного интеграла (9.1), по формуле (9.8), можно оценить по правилу Рунге

,

 

где J_n и J _{2 n} – приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле парабол, соответственно с шагом h и . За приближенное значение J интеграла (9.1), вычисленное по формуле парабол с поправкой Рунге, принимают

 

.

 

 

ЛЕКЦИЯ 10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Невелико число типов дифференциальных уравнений, допускающих решение в квадратурах (сведение к дифференциальному уравнению с разделяющими переменными с последующим интегрированием). Многообразие видов уравнений, встречающихся при решении физических и технических вопросов, привело к созданию большого числа методов приближенного решения дифференциальных уравнений, основанных на самых различных идеях. Все эти методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно разделить на три основные группы:

1. Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения;

2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графиков.

3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Остановимся на численных методах.