2017-12-14
435
Пусть дано:
; у (0) = у' (0) = 1; [0;0,3]; h = 0,1.
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта
С помощью подстановки у' = z, у'' = z' заменим исходное дифференциальное уравнение системой уравнений:
(**)
с начальными условиями у (0) = 1, z (0) = 1. Таким образом,
f 1(x, y, z)= z,
f 2(x, y, z)= 3 z –2 y + x.
Шагом интегрирования h = 0,1 разобьем отрезок [0;0,3] на три равных части точками х 0= 0, х 1= 0,1, х 2 = 0,2, х 3 = 0,3. Для вычисления приближенных значений у 1, у 2, у 3 и z 1, z 2, z 3 решения системы (**) воспользуемся формулами (10.17). Результаты вычислений помещены в табл.11. Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.
При i = 0:
1. Записываем в первой строке х 0 = 0, у 0 = 1, z 0 = 1.
2. Вычисляем f 1(x 0, y 0, z 0)= z 0 = 1, f 2(x 0, y 0, z 0) = 3 z 0 –2 y 0 + x 0 = 1,
тогда К 1(0) = 0,1∙1 = 0,1; l 1(0) = 0,1∙1 = 0,1.
3. Записываем во второй строке
, 
, 
.
4. Вычисляем 
тогда 
.
5. Записываем в третьей строке
, 
, 
.
6. Вычисляем
,
тогда 
.
7. Записываем в четвертой строке
, 
, 
8. Вычисляем
тогда 
.
9. В столбцы 
и 
записываем числа K 1(0), 2K 2(0), 2K 3(0), K 4(0) и 
соответственно.
|
|
|
10. Вычислим
11. Получаем 
Значения 
заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.17). В результате этих вычислений получаем следующую таблицу приближенных значений решения системы (**).
Таблица 11
| i | x | y | z | K | l | Δ y | Δ z |
| 1,000000 | 1,000000 | 0,100000 | 0,100000 | 0,100000 | 0,100000 | ||
| 0,05 | 1,050000 | 1,050000 | 0,105000 | 0,110000 | 0,210000 | 0,220000 | |
| 0,05 | 1,052750 | 1,055000 | 0,105500 | 0,111000 | 0,211000 | 0,222000 | |
| 0,1 | 1,105500 | 1,111000 | 0,111100 | 0,122200 | 0,111100 | 0,122200 | |
| 0,105349 | 0,110681 | ||||||
| 0,1 | 1,105349 | 1,110681 | 0,111069 | 0,122134 | 0,111068 | 0,122134 | |
| 0,15 | 1,160883 | 1,171748 | 0,1171748 | 0,134348 | 0,234349 | 0,268696 | |
| 0,15 | 1,163936 | 1,1778546 | 0,117785 | 0,135557 | 0,235570 | 0,471140 | |
| 0,2 | 1,223134 | 1,246250 | 0,124625 | 0,149248 | 0,124625 | 0,149248 | |
| 0,117602 | 0,1351985 | ||||||
| 0,2 | 1,222951 | 1,245879 | 0,124588 | 0,149174 | 0,124588 | 0,149174 | |
| 0,25 | 1,285245 | 1,320466 | 0,1320466 | 0,164091 | 0,264093 | 0,328182 | |
| 0,25 | 1,288974 | 1,327925 | 0,1327925 | 0,1655825 | 0,265585 | 0,331165 | |
| 0,3 | 1,355743 | 1,411462 | 0,411462 | 0,1822899 | 0,1411462 | 0,1822899 | |
| 0,1325686 | 0,165135 | ||||||
| 0,3 | 1,3555196 | 1,4110142 |
| i | x i | y i | z i |
| 0,1 | 1,105349 | 1,110681 | |
| 0,2 | 1,222951 | 1,245879 | |
| 0,3 | 1,3555196 | 1,4110142 |
