2017-12-14
383
Дано
у'' – 3 у' + 2 у = х, у (0) = у' (0) = 1. (***)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение уон этого уравнения, которое равно сумме какого-либо частного решения учн неоднородного уравнения и общего решения у∞ соответствующего однородного уравнения
уон = у∞ + учн.
Запишем соответствующее однородное уравнение
у'' – 3 у' + 2 у = 0,
его характеристическое уравнение k 2 – 3 k + 2 = 0 имеет корни k 1 = 2, k 2 = 1. Поэтому
у∞ = с 1 е 2 х + с 2 е 2 х .
Для определения частного решения неоднородного уравнения (***) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как правая часть уравнения (***) является многочленом первой степени и число ά + βi = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид:
учн = Ах + В.
Чтобы определить значения коэффициентов А и В, находим производные
учн = А, учн = 0,
подставляем учн, учн, учн в уравнение (19)
-3 А +2 Ах + 2 В = х
|
|
|
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
из которой находим 
. Следовательно, 
и
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, для чего продифференцируем общее решение и подставим начальные условия в общее решение и его производную, в результате получим систему
решая которую, найдем 
.Таким образом, получили аналитическое решение заданного уравнения, удовлетворяющего данным начальным условиям
3. Сравним значения точного и приближенного решений заданного уравнения в точках х1, х2, х3. Это сравнение дано в табл.12.
Таблица 12
| i | yi по методу Рунге-Кутта | у (хi) – точное решение |  - абсолютная погрешность
|
| 1,0000000 | 1,000000 | ||
| 1,105349 | 1,105351 | 2∙10-6 | |
| 1,222951 | 1,222955 | 4∙10-6 | |
| 1,3555196 | 1,3555301 | 1∙10-5 |
